Šaurleņķu trijstūrim \(ABC(AB>AC)\) apvilktās riņķa līnijas centrs ir \(O\) un punkts \(D\) ir malas \(BC\) viduspunkts. Riņķa līnija ar diametru \(AD\) krusto malas \(AB\) un \(AC\) attiecīgi punktos \(E\) un \(F\). Uz nogriežņa \(EF\) atlikts punkts \(M\) tā, ka \(DM \parallel AO\). Pierādīt, ka trijstūri \(ABD\) un \(FDM\) ir līdzīgi!

Pierādīt, ka vismaz viens no \(18\) pēc kārtas sekojošiem trīsciparu skaitļiem dalās ar savu ciparu summu!

Doti tādi reāli skaitļi \(x,\ y\) un \(z\), ka \(x+y+z=3\). Pierādīt, ka \(xy+xz+yz \leq 3\).

Trijstūra \(ABC\) leņķu \(\sphericalangle CAB\) un \(\sphericalangle BCA\) bisektrises krusto tam apvilkto riņķa līniju attiecīgi punktos \(P\) un \(Q\), bet pašas krustojas punktā \(I\). Pierādīt, ka \(PQ \perp BI\)!

Naturālu skaitļu virkni \(\left(s_{i}\right)\) pēc parauga, " \(2016\) " veido šādi: \(s_{1}=2;\ s_{2}\) - mazākais naturālais skaitlis, kas lielāks nekā \(s_{1}\) un tā pierakstā ir cipars \(0;\ s_{3}\) - mazākais naturālais skaitlis, kas lielāks nekā \(s_{2}\) un tā pierakstā ir cipars \(1;\ s_{4}\) - mazākais naturālais skaitlis, kas lielāks nekā \(s_{3}\) un tā pierakstā ir cipars \(6\). Pēc tam meklētie cipari cikliski atkārtojas: \(2-0-1-6-2-0-\ldots\). Virknes pirmie locekļi ir \(2;\ 10;\ 11;\ 16;\ 20;\ 30;\ 31;\ 36;\ 42;\ 50\).

Vai šajā virknē ir skaitlis (A) \(2001\), (B) \(2006\)?

Zināms, ka \(x\) un \(y\) ir tādi naturāli skaitļi, ka \(xy^{433}\) ir naturāla skaitļa \(2016.\) pakāpe. Pierādīt, ka arī \(x^{433}y\) ir naturāla skaitļa \(2016.\) pakāpe!

Atrast skaitļa \(\frac{2016^{2016}-3}{3}\) mazāko pirmreizinātāju!

Vai tabulā, kuras izmēri ir \(4 \times 4\) rūtiņas, var ierakstīt naturālus skaitļus no \(1\) līdz \(16\) (katrā rūtiņā citu) tā, lai katrās divās rūtiņās, kurām ir kopīga mala, ierakstīto skaitļu starpība būtu vismaz (A) \(6\); (B) \(7\)?

Pierādīt, ka jebkuru trijstūri (A) ar trim, (B) ar diviem nogriežņiem var sadalīt trīs daļās tā, ka katrai no daļām ir simetrijas ass!

Pitagora trijstūrī visu malu garumi ir lielāki nekā \(5\). Vai var gadīties, ka tā (A) trīs malu, (B) divu malu garumi ir pirmskaitļi?

Piezīme. Pitagora trijstūris ir taisnleņķa trijstūris, kam visi malu garumi ir naturāli skaitļi.

Regulāra \(2016\) - stūra visas virsotnes sākotnēji ir baltas. Kādu mazāko skaitu no tām var nokrāsot melnā krāsā tā, lai nepaliktu neviens (A) taisnleņķa, (B) šaurleņķu trijstūris, kuram visas virsotnes atrodas \(2016\) - stūra baltajās virsotnēs?

Pierādīt, ka katram naturālam skaitlim \(n(n>1)\) var atrast tādus naturālus skaitļus \(x\) un \(y(x \leq y)\), ka

\[\frac{1}{n}=\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots+\frac{1}{y(y+1)}\]

Trijstūrī \(ABC\) novilkta mediāna \(AF\), punkts \(D\) ir tās viduspunkts. Taisne \(CD\) krusto malu \(AB\) punktā \(E\). Pierādīt: ja \(BD=BF\), tad \(AE=DE\) !

Naturālu skaitļu virkni \(\left(s_{i}\right)\) pēc parauga " \(2016\) " veido šādi: virknes pirmais loceklis \(s_{1}\) ir \(2\); virknes otrais loceklis \(s_{2}\) - mazākais naturālais skaitlis, kas lielāks nekā \(s_{1}\) un tā pierakstā ir cipars \(0\); virknes trešais loceklis \(s_{3}\) - mazākais naturālais skaitlis, kas lielāks nekā \(s_{2}\) un tā pierakstā ir cipars \(1\); virknes ceturtais loceklis \(s_{4}\) - mazākais naturālais skaitlis, kas lielāks nekā \(s_{3}\) un tā pierakstā ir cipars \(6\). Pēc tam meklētie cipari cikliski atkārtojas: \(2-0-1-6-2-0-\ldots\). Virknes pirmie locekļi ir \(2;\ 10;\ 11;\ 16;\ 20;\ 30;\ 31;\ 36;\ 42;\ 50\).

Kādi ir četri nākamie skaitļi, kas virknē seko aiz skaitļa \(2016\)?

Trijstūrī \(ABC\) ievilktās riņķa līnijas \(\omega\) centrs ir \(I\). Uz malām \(AB\) un \(BC\) izvēlēti attiecīgi punkti \(P\) un \(Q\) tā, ka \(PI=QI\) un \(PB>QB\). Nogrieznis \(QI\) krusto \(\omega\) punktā \(T\). Taisne, kas pieskaras \(\omega\) punktā \(T\), krusto malas \(AB\) un \(BC\) attiecīgi punktos \(U\) un \(V\). Pierādīt, ka \(PU=UV+VQ\) !

Aplūko visus tos funkciju \(y=x^{2}+px+q\) grafikus, kuriem ir trīs dažādi krustpunkti ar koordinātu asīm. Katram no tiem caur šiem trim krustpunktiem novelk riņķa līniju. Pierādīt, ka visām šīm riņķa līnijām ir kopīgs punkts!

Zināms, ka \(x\) un \(y\) ir tādi naturāli skaitļi, ka \(xy^{10}\) ir naturāla skaitļa \(33.\) pakāpe. Pierādīt, ka arī \(x^{10}y\) ir naturāla skaitļa \(33.\) pakāpe!

Zināms, ka \(x,\ y\) un \(z\) ir tādi naturāli skaitļi, ka \(x^{3}y^{5}z^{6}\) ir naturāla skaitļa septītā pakāpe. Pierādīt, ka arī \(x^{5}y^{6}z^{3}\) ir naturāla skaitļa septītā pakāpe!

Divas funkcijas tiek definētas šādi: \(f(a)=a^{2}+3a+2\) un \(g(b; c)=b^{2}-b+3c^{2}+3c\). Pierādīt, ka jebkurai naturālai \(a\) vērtībai iespējams atrast tādas naturālas \(b\) un \(c\) vērtības, ka \(f(a)=g(b; c)\).

Zināms, ka \(x\) un \(y\) ir tādi naturāli skaitļi, ka \(xy^{2}\) ir naturāla skaitļa kubs. Pierādīt, ka arī \(x^{2}y\) ir naturāla skaitļa kubs!