Dots naturāls skaitlis, kas dalās ar \(99\) un kura pēdējais cipars nav \(0\). Pierādi, ka, uzrakstot šī skaitļa ciparus pretējā secībā, arī iegūst skaitli, kas dalās ar \(99\).

Uz tāfeles uzrakstīts vienādojums \(\square x^{4}-\square x^{3}+\square x^{2}-\square x+\square=0\). Makss un Morics spēlē spēli: Makss nosauc vienu reālu skaitli, tad Morics nosauc otru, tad Makss nosauc trešo, Morics - ceturto un visbeidzot Makss - piekto. Pēc tam Morics kaut kādā secībā ieraksta šos skaitļus tukšajos kvadrātiņos. Vai Makss vienmēr var panākt, lai iegūtajam vienādojumam ir vismaz viena vesela sakne?

Vienādi burti apzīmē vienādus skaitļus, dažādi - dažādus. Atrodi vienu piemēru, kādi naturāli skaitļi jāliek burtu vietā, lai abas dotās vienādības būtu patiesas!

\[\begin{aligned} & A+B=C \cdot D \\ & A \cdot B=C+D \end{aligned}\]

Dotas \(20\) pēc ārējā izskata vienādas monētas, bet visas to masas ir dažādas. Kā, izmantojot sviras svarus bez atsvariem, ar \(28\) svēršanām atrast gan pašu vieglāko, gan pašu smagāko monētu?

No \(20\) vienādiem kubiņiem, kuriem katras šķautnes garums ir \(1~\mathrm{cm}\), salīmēja 1.att. redzamo figūru, kurai katrā skaldnē trūkst centrālais kubiņš, kā arī iztrūkst pašas figūras centrālais kubiņš. Cik kvadrātiņi, kuriem katras malas garums ir \(1~\mathrm{cm}\), ir nepieciešami, lai aplīmētu visu šo figūru?

Katrā tukšajā kvadrātiņā (skat. 4.att.) ieraksti vienu ciparu tā, lai iegūtu pareizu reizināšanas piemēru! Neviens skaitlis tajā nedrīkst sākties ar \(0\).

Dotas \(13\) pēc ārējā izskata vienādas monētas. No tām \(12\) monētas ir ar vienādu masu, bet viena - ar atšķirīgu. Doti arī sviras svari bez atsvariem. Kā ar divām svēršanām noskaidrot, vai atšķirīgā monēta ir vieglāka vai smagāka par pārējām? Pašu monētu atrast nav nepieciešams.

Pierādīt, ka

(A) no pieciem naturāliem skaitļiem vienmēr var izvēlēties vairākus (vismaz divus), kuru summa dalās ar \(4\);

(B) var atrast četrus tādus naturālus skaitļus, ka no tiem nevar izvēlēties vairākus (vismaz divus), kuru summa dalās ar \(4\).

(A) Vai var atrast dažādus veselus skaitļus \(a, b, c\) un \(d\) tādus, ka izpildās vienādības \(a+b=cd\) un \(ab=c+d\) ?

(B) Vai šādus skaitļus var atrast, ja papildus zināms, ka \(a>2016\)?

Četrstūris \(ABCD\) ir ievilkts riņķa līnijā, arī tā malu viduspunkti atrodas uz vienas riņķa līnijas. Pierādīt, ka \(\sphericalangle ABD+\sphericalangle BDC=90^{\circ}\).

Kādu lielāko skaitu rūtiņu diagonāļu var novilkt \(4 \times 4\) rūtiņas lielā tabulā, lai šīs diagonāles veidotu slēgtu lauztu līniju? Lauztā līnija nedrīkst pati sevi krustot vai pieskarties.

Caur taisnstūra \(ABCD\) diagonāļu krustpunktu \(O\) novilkta taisne \(PQ\) tā, ka \(P\) atrodas uz \(AD,\ Q\) - uz \(BC\) un \(PQ=QD\). Pierādīt, ka \(DP=2AP\).

Trīs brāļiem - Rihardam, Haraldam un Olafam - kopā ir \(13,20\) eiro. Zināms, ka Haraldam ir par \(2,10\) eiro vairāk nekā Rihardam un par \(3,30\) eiro mazāk nekā Olafam. Cik naudas ir katram brālim?

Noteikt funkcijas \(y=\sqrt{5 \cdot 2^{x}-3^{x}}\) definīcijas kopu!

Pierādīt, ka katram naturālam \(n\) rūtiņu lapā, kurā rūtiņas malas garums ir \(1\), pa rūtiņu līnijām ir iespējams uzzīmēt astoņstūri tā, ka tā malu garumi pēc kārtas ir \(n;\ n+1;\ n+2;\ n+3;\ n+4;\ n+5;\ n+6;\ n+7\).

Atrisināt nevienādību \(x^{2}+3kx-k>0\) visām parametra \(k\) vērtībām!

Ķērpjbārdis, Puszābaks un Uzrocis spēlē novusu, pie tam tas, kurš zaudē partiju, atdod savu vietu tam, kurš iepriekšējo partiju nespēlēja. Beigās izrādījās, ka Ķērpjbārdis ir izspēlējis \(10\) partijas, Puszābaks - \(15\), bet Uzrocis - \(17\). Kurš zaudēja sestajā partijā?

No trīs dotajām figūrām (skat. 7.att.) saliec simetrisku daudzstūri un uzzīmē arī simetrijas asi! Figūras drīkst būt pagrieztas vai apgrieztas spoguļattēlā.

Piezīme. Figūra ir simetriska, ja to var pārlocīt tā, ka tās abas puses sakrīt.

Izliekta četrstūra \(ABCD\) diagonāles krustojas punktā \(E\). Ap trijstūriem \(ABE\) un \(CDE\) apvilktās riņķa līnijas krustojas arī punktā \(F\). Pierādīt, ka trijstūri \(ABF\) un \(CDF\) ir līdzīgi!

Kurš skaitlis ir lielāks: \(\log _{2015} 2016\) vai \(\log _{2016} 2017\)?

Sadali taisnstūri ar izmēriem \(11 \times 13\) rūtiņas sešos kvadrātos tā, lai dalījuma līnijas ietu pa rūtiņu līnijām!

Rindā viens aiz otra bez tukšumiem ir uzrakstīti pēc kārtas sekojoši naturāli skaitļi no \(1\) līdz \(N\), tādējādi veidojot vienu lielu skaitli (Piemēram, ja \(N=12\), tad ir uzrakstīts skaitlis \(123456789101112\).)

Kāds ir mazākais iegūtais skaitlis, kas dalās ar (A) \(9\); (B) \(24\)?

Ķērpjbārdis, Puszābaks un Uzrocis spēlē novusu pie tam tas, kurš zaudē partiju, atdod savu vietu tam, kurš iepriekšējo partiju nespēlēja. Beigās izrādijās, ka Ķērpjbārdis ir izspēlējis \(12\) partijas, Puszābaks - \(15\), bet Uzrocis - \(19\). Ķērpjbārdis uzvarēja \(14.\) partijā. Kurš zaudēja otrajā partijā?

Rūtiņu lapā, kurā katras rūtiņas malas garums ir \(1\) vienība, pa rūtiņu līnijām uzzīmē astoņstūri tā, lai tā malu garumi pēc kārtas ir \(3;\ 4;\ 5;\ 6;\ 7;\ 8;\ 9;\ 10\) vienības!

Izliektā četrstūrī \(APQC\) uz malas \(AC\) izvēlēts punkts \(B\) tā, ka trijstūri \(APB\) un \(BQC\) ir vienādsānu taisnleņķa trijstūri ar pamatiem attiecīgi \(AB\) un \(BC\). Ap trijstūri \(PBQ\) apvilktā riņķa līnija vēlreiz krusto taisni \(AC\) punktā \(S\). Pierādīt, ka \(PS=SQ\).

Daļas ir uzrakstītas augošā secībā. Kāds naturāls skaitlis var būt ierakstīts \(\square\) vietā?

\[\frac{5}{16}; \frac{\square}{5}; \frac{3}{4}\]

Karlīna uzrakstīja divus skaitļus, kuru pierakstā nav izmantots cipars \(0\). Katru ciparu viņa aizstāja ar burtu: dažādus ciparus - ar dažādiem burtiem, vienādus - ar vienādiem. Viens no uzrakstītajiem skaitļiem \(DUBĻUNNN\) dalās ar \(104\). Pierādi, ka otrais skaitlis \(BURBUĻUVANNA\) nedalās ar \(56\).

Trijstūrī \(ABC\) novilkta bisektrise \(BD\). Zināms, ka \(AD=DB\) un \(AB=2BC\). Aprēķināt \(\sphericalangle BAC\) lielumu!

Saldumu veikalā vienas konfektes cena ir \(3\) centi. Aivaram ir vairāk naudas nekā Bruno, Cildai ir vairāk naudas nekā Aivaram, Dainai - vairāk nekā Cildai.

(A) Vai Daina noteikti var nopirkt vairāk konfekšu nekā Bruno?

(B) Vai Cilda noteikti var nopirkt vairāk konfekšu nekā Bruno?

Doti \(2016\) skaitļi: \(1^{2}\); \(2^{2}\); \(3^{2}\); \(\ldots\); \(2015^{2}\); \(2016^{2}\). Vai starp šiem skaitļiem var salikt "+" un "-" zīmes tā, lai iegūtās izteiksmes vērtība būtu \(0\)?

Pierādīt, ka starp jebkuriem pieciem naturālu skaitļu kvadrātiem var atrast divus tādus, ka to summa vai starpība dalās ar \(13\).

Rindā viens aiz otra bez tukšumiem ir uzrakstīti pēc kārtas sekojoši naturāli skaitļi no \(1\) līdz \(N\), tādējādi veidojot vienu lielu skaitli (Piemēram, ja \(N=12\), tad ir uzrakstīts skaitlis \(123456789101112\).).

Kāds ir mazākais iegūtais skaitlis, kas dalās ar (A) \(8\); (B) \(18\)?

Pierādīt, ka no jebkuriem trim naturālu skaitļu kvadrātiem var izvēlēties divus tā, ka to summa vai starpība dalās ar \(5\).

Smaragda pilsētā naudas vienība ir centi. Tur ir \(21 \%\) PVN (pievienotās vērtības nodokļa) likme. Tas nozīmē, ka ikvienas pārdodamās preces cenu iegūst, pareizinot kādu veselu skaitu centu (cenu bez PVN) ar skaitli \(1,21\) un reizinājumu noapaļojot līdz tuvākajam veselajam centu skaitam. Cenu sauc par neiespējamu, ja to nevar iegūt minētajā veidā. Cik pavisam ir neiespējamu cenu no \(1\) līdz \(1000\) centiem ieskaitot?

Piemēram, \(3\) centi ir neiespējama cena, jo \(2 \cdot 1,21=2,42\), pēc noapaļošanas \(2\) centi, savukārt, \(3 \cdot 1,21=3,63\), pēc noapaļošanas \(4\) centi. Tā kā nekāda cita vesela skaitļa starp \(2\) un \(3\) nav, tad cenu, kas ir tieši \(3\) centi nevar iegūt pēc PVN pievienošanas.

Ķērpjbārdis, Puszābaks un Uzrocis spēlē novusu, pie tam tas, kurš zaudē partiju, atdod savu vietu tam, kurš iepriekšējo partiju nespēlēja. Beigās izrādījās, ka Ķērpjbārdis ir izspēlējis \(10\) partijas, bet Puszābaks - \(21\). Cik partijas izspēlēja Uzrocis?

Pierādīt, ka katram naturālam \(n\) ir patiesa vienādība \(1 \cdot 4+2 \cdot 7+3 \cdot 10+\cdots+n \cdot(3n+1)=n(n+1)^{2}\).

Nosaki funkciju \(y=2016-x\) un \(y=\frac{2015}{x}\) grafiku krustpunktu koordinātas!

Ķērpjbārdis, Puszābaks un Uzrocis spēlē novusu, pie tam tas, kurš zaudē partiju, atdod savu vietu tam, kurš iepriekšējo partiju nespēlēja. Beigās izrādīās, ka Ķērpjbārdis ir uzvarējis \(10\) partijās, Puszābaks - \(12\), bet Uzrocis - \(14\) partijās. Cik partijas izspēlēja katrs no viņiem?

Atrast visu skaitļu, kas pierakstāmi formā \(a^{4}-b^{4}\), kur \(a>b>5\) un \(a\) un \(b\) ir pirmskaitļi, lielāko kopīgo dalītāju!

Aprēķini izteiksmes \(\sqrt{a-b}+\sqrt{b-c}+\sqrt{c-d}+\sqrt{d-a}\) vērtību!