Atrisināt vienādojumu \(4 \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{\sin x}+9 \cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{\sin x}-13=0\).

Uzraksti dotos skaitļus augošā secībā! Atbildi pamato!

\(DLV; MMXVI; CMXCIV; XXXVII\)

Klasē ir \(12\) skolēni, katrs no tiem nosūtīja īsziņu tieši sešiem citiem saviem klasesbiedriem. Pierādi, ka noteikti ir tādi divi skolēni, kas nosūtījuši īsziņu viens otram!

Pierādīt, ka vienādojumam \(10^{x}+12^{y}=34^{z}\) nav atrisinājuma naturālos skaitļos!

Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(a\) un \(b\), ka \(ab(a+43b)=434343\)?

Dota lineāra funkcija \(y=2015x+2016\).

(A) Nosaki dotās funkcijas krustpunktus ar koordinātu asīm!
(B) Uzraksti vienādojumu lineārai funkcijai, kuras grafiks nekrusto dotās funkcijas grafiku un iet caur punktu \((1; 43)\)!

Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(x, y\) un \(z\), ka \(x^{3}-2016xyz=10\) ?

Uz kādas salas dzīvo zaļi, zili un sarkani hameleoni. Ja divi atšķirīgas krāsas hameleoni satiekas, tie abi maina savu krāsu uz trešo krāsu. Piemēram, ja satiekas zilais hameleons ar sarkano, tie abi klūst par zaļiem hameleoniem. Vai iespējams, ka pēc kāda laika uz salas visi hameleoni būs vienā krāsā, ja sākumā ir (A) \(11\) zaļi, \(15\) zili un \(16\) sarkani hameleoni, (B) \(12\) zaļi, \(15\) zili un \(16\) sarkani hameleoni?

Starp dotajiem skaitļiem vienādības kreisajā pusē saliec darbību zīmes un iekavas tā, lai iegūtu patiesu vienādību! (A) \(3 \quad 3 \quad 7 \quad 7=14\) (B) \(3 \quad 3 \quad 7 \quad 7=24\)

Sivēnam ir \(10\) podi ar medu, kas pēc kārtas sanumurēti ar skaitļiem no \(1\) līdz \(10\). Kādu dienu viņš uzzināja, ka Vinnijs Pūks slepeni ir izēdis četrus no tiem, pie tam to numuri veido aritmētisko progresiju. Katra poda saturu Sivēns var pārbaudīt. Pierādīt, ka viņš var noskaidrot, kuri tieši ir izēstie podi, pārbaudot ne vairāk kā četrus podus!

Dots, ka \(AB \| CD\) un \(AD \| BC\) (skat. 9.att.). Nogriežņu \(AC\) un \(BD\) krustpunkts ir \(M\). Uz taisnes \(AB\) izvēlēts tāds punkts \(N\), ka \(AM=MN\). Pierādīt, ka \(\sphericalangle ANC=90^{\circ}\).

Aprēķini dotās izteiksmes vērtību!

\[\frac{2000016 \cdot 1999984}{5^{12} \cdot 2^{13}-128}\]

Kvadrāta \(ABCD\) diagonāles krustojas punktā \(K\). Nogriežņi \(AE\) un \(BF\), kas ir attiecīgi trijstūru \(BAC\) un \(ABD\) bisektrises, krustojas punktā \(H\). Nogriežņi \(BF\) un \(AC\) krustojas punktā \(G\), bet \(AE\) un \(BD\)- punktā \(J\). Pierādīt, ka trijstūra \(AFG\) laukums ir vienāds ar četrstūra \(GHJK\) laukumu!

Trijstūrī \(ABC\) leņķa \(\sphericalangle ABC\) bisektrise krusto tam apvilkto riņķa līniju punktā \(D\). Nogriežņi \(DP\) un \(DQ\) ir attiecīgi trijstūru \(ABD\) un \(BCD\) augstumi. Pierādīt, ka nogrieznis \(PQ\) krusto malu \(AC\) tās viduspunktā!

Divi spēlētāji spēlē spēli uz \(N \times N\) rūtiņas liela laukuma. Sākumā laukuma kreisajā apakšējā rūtiņā atrodas spēļu kauliņš. Katrā gājienā spēļu kauliņu drīkst pārvietot vai nu vienu lauciņu pa labi, vai vienu lauciņu uz augšu, vai arī divus lauciņus pa diagonāli uz augšu pa labi (skat. 12.att., kur kauliņa sākumpozīcija apzīmēta ar baltu, bet atļautie gājieni -- ar pelēkiem aplīšiem). Kauliņu nedrīkst pārvietot ārpus laukuma robežām. Spēlētāji gājienus izdara pēc kārtas. Zaudē spēlētājs, kurš nevar izdarīt gājienu. Kurš no spēlētājiem, pareizi spēlējot, uzvar, ja (A) \(N=7\), (B) \(N=8\)?

Pierādīt nevienādību

\[\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{6}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{48}+\sqrt{50}} < 6\]

Vai var atrast tādus naturālus skaitļus \(a\) un \(b\), ka \(14 \cdot a+2 \cdot b+1=2016\) ?

Vai var atrast tādus naturālus skaitļus \(x, y\) un \(z\), ka \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=\underbrace{1111 \ldots 1}_{2016}\) ?

Dota taisnleņķa trapece \(ABCD\), kuras īsākā sānu mala ir \(BC\). Malu \(AD\) un \(CD\) viduspunkti attiecīgi ir \(M\) un \(K\), bet diagonāles \(AC\) viduspunkts ir \(N\). Pierādīt, ka \(\triangle MNB=\triangle CKM\).

Aritmētiskās progresijas četri pēc kārtas ņemti locekļi ir veseli skaitļi \(A, B, C\) un \(D\). Pierādīt, ka \(A^{2}+2B^{2}+3C^{2}+4D^{2}\) var izteikt kā divu veselu skaitļu kvadrātu summu!

Kvadrāts sadalīts \(12 \times 12\) vienādās kvadrātiskās rūtiņās un izkrāsots kā šaha galdiņš. Četrdesmit trijās baltajās rūtiņās sēž pa vienai mušai. Varde lēkā pa kvadrātu, katrā lēcienā šķērsojot divu rūtiņu kopējo malu. Tā nelec caur rūtiņu stūri un nelec rūtņā, kurā tā jau ir bijusi. Ielecot rūtiņā, kurā sēž muša, varde to apēd. Zināms, ka varde ir bijusi vismaz \(100\) rūtiņās. Pierādīt, ka varde ir apēdusi vismaz \(21\) mušu!

Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(x, y\) un \(z\), ka \(x^{3}-2016xyz=120\) ?

Vai var atrast tādus naturālus skaitļus \(a\) un \(b\), ka \(14 \cdot a+15=2016-6 \cdot b\)?

Divi rūķi -- Svirpulnieks un Pukstiņš -- katru dienu tīra zobus. Katrs lieto savu zobu birsti un katrs sava veida zobu pastas tūbiņas. Katram rūķim viena zobu pastas tūbiņa pietiek veselam skaitam dienu. Ja vienā dienā rūḳim beidzas viena zobu pastas tūbiņa, tad nākamajā dienā viņš iesāk tādu pašu jaunu tūbiņu. Svirpulniekam viena zobu pastas tūbiņa pietiek divas dienas ilgāk nekā Pukstiņam. Ja abi sāk jaunas zobu pastas tūbiņas vienā un tajā pašā dienā, tad dienā, kad Pukstiņš pēdējo dienu izmanto trešo zobu pastas tūbiņu, Svirpulnieks pirmo dienu ir iesācis jaunu tūbiņu. Cik dienas katram rūķim pietiek ar vienu zobu pastas tūbiņu?

Naturālu skaitļu virknes \(1; 2; 2; 4; 8; 32; 48; \ldots\) katrs loceklis, sākot ar trešo, ir vienāds ar divu iepriekšējo locekļu nenulles ciparu reizinājumu. Kāds ir šīs virknes \(2016.\) loceklis?

No visiem vienādsānu trijstūriem ar sānu malas garumu \(10~\mathrm{cm}\) atrast to, kuram ir vislielākais laukums!

Vairākas tantītes piedalījās sēņošanas sacensībās. Kad sacensību beigās saskaitīja atrastās baravikas, tad izrādījās, ka katrai no divām tantītēm, kurām bija vislielākais baraviku skaits, bija tieši \(\frac{1}{5}\) no visu baraviku kopskaita. Savukārt, katrai no piecām tantītēm, kurām bija vismazākais baraviku skaits, bija tieši \(\frac{1}{13}\) no visu baraviku kopskaita. Cik pavisam tantītes piedalījās sacensībās?

Atrisināt nevienādību \(\frac{x-1}{x^{2}-4} \leq 0\).

Aplīšos (skat. 3.att.) ieraksti trūkstošās darbību zīmes un kvadrātiņos -- trūkstošos skaitļus, lai iegūtu patiesas vienādības! Parādi arī risinājumu!

Trijstūrī \(ABC\) leņķa \(\sphericalangle ABC\) bisektrise krusto malu \(AC\) punktā \(D\). Caur punktu \(C\) paralēli \(BD\) novilkta taisne, kas krusto \(AB\) pagarinājumu punktā \(P\) un ap trijstūri \(BDC\) apvilkto riņķa līniju punktā \(Q\). Taisne \(PD\) krusto nogriezni \(BQ\) punktā \(M\). Pierādīt, ka \(PM=MD\).

Laukumā, kura izmēri ir \(9 \times 9\) rūtiņas, novietoti \(16\) taisnstūri ar izmēriem \(1 \times 5\) rūtiņas tā, ka to malas iet pa rūtiņu līnijām un taisnstūri nepārklājas. Pierādīt, ka nenoklāta paliek laukuma centrālā rūtiņa!

Doti divi dažādi kabeļi. Pirmā kabeļa masa ir \(65~\mathrm{kg}\), otrā kabeļa masa ir \(120~\mathrm{kg}\). Otrais kabelis ir par \(3~\mathrm{m}\) garāks nekā pirmais, un otrā kabeļa katra metra masa ir par \(2~\mathrm{kg}\) lielāka nekā pirmā kabeļa katra metra masa. Kādi var būt kabeļu garumi?

Dotas piecas pēc ārējā izskata vienādas monētas. Trīs no tām ir īstas (to masas ir vienādas savā starpā), divas viltotas (to masas arī ir vienādas savā starpā, bet atšķiras no īsto monētu masas). Nav zināms, vai viltotā monēta ir vieglāka vai smagāka par īsto. Doti arī sviras svari, uz kuriem ir iespējams nolasīt uz kausiem uzlikto masu starpību. Vai ar divām svēršanām var atrast vienu īsto monētu?

Sadali 1.att. redzamo figūru trīs daļās, no kurām var salikt kvadrātu! Saliekot daļas nedrīkst pārklāties, daļas drīkst pagriezt, bet nedrīkst apgāzt otrādi.

Karlsons sev pusdienām nopirka \(8\) pīrādziņus un \(15\) magoņmaizītes, bet Brālītis -- vienu pīrādziņu un vienu magoņmaizīti. Karlsons par savām pusdienām samaksāja tieši divus eiro (katra maizīte un pīrādziņš maksā veselu skaitu centu). Cik samaksāja Brālītis?

Zināms, ka skaitlis dalās ar \(2016\) un ka visi tā cipari ir dažādi. Kāds ir lielākais ciparu skaits, kas var būt šajā skaitlī?

Dots taisnstūris \(ABCD\). Malas \(AB\) viduspunkts ir \(M\). Zināms, ka uz malas \(BC\) var izvēlēties tādu punktu \(N\), ka \(\sphericalangle BMN=\sphericalangle CDN=30^{\circ}\). Pierādīt, ka trijstūris \(CDM\) ir vienādmalu!

Sadali 7.att. redzamo figūru trīs pilnīgi vienādās (gan pēc formas, gan pēc laukuma) daļās! Gabali attiecībā viens pret otru drīkst būt gan pagriezti, gan "apmesti otrādi".

Kvadrāts ar izmēriem \(12 \times 12\) rūtiņas divos veidos ir sadalīts taisnstūros ar izmēriem \(3 \times 4\) rūtiņas (skat. 5.att.): trīs rindās pa četriem taisnstūriem katrā (ar gaiši pelēkajām līnijām) un četrās rindās pa trim taisnstūriem katrā (ar melnajām līnijām). Kāds ir mazākais rūtiņu skaits, kas jāiekrāso \(12 \times 12\) rūtiņu kvadrātā, lai katrā gaišpelēkajā un katrā melnajā taisnstūrī būtu vismaz viena iekrāsota rūtiņa?

Zināms, ka reāliem skaitļiem \(x, y\) un \(z\) izpildās nevienādība \(2x^{2}+xy+xz < 0\). Pierādīt, ka izpildās arī nevienādība \(y^{2} > 8xz\).