Katrs no skaitļu ass punktiem ar veselu koordinātu ir nokrāsots vai nu baltā, vai melnā krāsā. Nekādi divi balti punkti neatrodas viens no otra attālumā \(1\) un nekādi divi melni punkti neatrodas viens no otra attālumā \(d\). Noteikt, kādām naturālām \(d\) vērtībām šāds krāsojums ir iespējams!

Pirātam Džonam Silveram kajītē ir \(38\) papagaiļi un \(39\) papagaiļu krātiņi. Katram papagailim ir savs krātiņš un vēl viens krātiņš stāv tukšs. Kādu dienu vētras laikā tie visi izmuka, tika noķerti un uz ātru roku salikti atpakaļ krātiņos (katrā krātiņā ne vairāk kā viens), bet ne obligāti savos. Vienā gājienā Džons Silvers var paņemt vienu papagaili un pārlikt uz to krātiņu, kurš dotajā brīdī ir tukšs. Kāds ir mazākais gājienu skaits, ar kuru viņam noteikti pietiek, lai panāktu, ka visi papagaiļi atrodas savos sākotnējos krātiņos?

Kāda ir izteiksmes \(a^{20}+a^{4}+\frac{1}{a^{4}+1}\) mazākā iespējamā vērtība, ja \(a\) ir reāls skaitlis?

Zināms, ka \(\frac{\cos 3x}{\cos x}=\frac{1}{2015}\). Aprēķināt \(\frac{\sin 3x}{\sin x}\) vērtību!

Pierādīt, ka, izmantojot
(A) visas septiņas dotās figūras (skat 1.att.), katru tieši vienu reizi, nav iespējams salikt taisnstūri;
(B) sešas no dotajām figūrām, katru tieši vienu reizi, var salikt taisnstūri.

Visas figūras sastāv no vienādiem kvadrātiem. Figūras drīkst pagriezt, bet nedrīkst apmest otrādi. Taisnstūrī nedrīkst būt caurumi, un figūras nedrīkst pārklāties.

Kvadrātvienādojuma

\[(1+\sqrt{5}) x^{2}-\sqrt[4]{7} \cdot(1+\sqrt{5})^{2} x+\sqrt[4]{7}=0\]

Pozitīviem skaitļiem \(a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f\) ir spēkā sakarības \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\) un \(d^{2}+e^{2}=f^{2}\). Pierādīt, ka \((a+d)^{2}+(b+e)^{2} \leq(c+f)^{2}\).

Atrast visus tādus naturālus skaitļus \(n\) un \(m\), kuriem \(\frac{2015}{n^{4}-m^{4}}\) arī ir naturāls skaitlis!

Naturāli skaitļi \(a,\ b\) un \(c\) ir savstarpēji pirmskaitļi un visi ir lielāki nekā \(50\). Zināms, ka \(a+b\) dalās ar \(c\) un \(b+c\) dalās ar \(a\). Atrast mazāko iespējamo \(b\) vērtību!

Paralelograma \(ABCD\) iekšpusē atzīmēts punkts \(P\) tā, ka \(\sphericalangle PAB=\sphericalangle PCB\). Pierādīt, ka \(\sphericalangle PBC=\sphericalangle PDC\)!

(A) Pierādīt, ka, izmantojot visas piecas dotās figūras (skat. 2.att.), katru tieši vienu reizi, nav iespējams salikt taisnstūri!
(B) Vai, izmantojot četras no dotajām figūrām, katru tieši vienu reizi, var salikt taisnstūri?

Visas figūras sastāv no vienādiem kvadrātiem. Figūras drīkst pagriezt vai apmest otrādi. Taisnstūrī nedrīkst būt caurumi, un figūras nedrīkst pārklāties.

Trijstūrī \(ABC\) novilkta bisektrise \(BL\) (\(L\) atrodas uz malas \(AC\)), tā krusto taisni, kas no \(A\) vilkta paralēli \(BC\), punktā \(K\). Zināms, ka \(LK=AB\). Pierādīt, ka \(AB>BC\) !

Pierādīt, ka jebkuram naturālam nepāra skaitlim \(n\) izteiksme \(2269^{n}+2151^{n}+1389^{n}-1779^{n}\) dalās ar \(2015\).

Kvadrātvienādojuma

\[(1+\sqrt{5}) x^{2}-\sqrt[4]{\frac{7}{3+\sqrt{5}}} \cdot(1+\sqrt{5})^{2} x+\sqrt[4]{\frac{7}{3+\sqrt{5}}}=0\]

Pierādīt, ka regulāram desmitstūrim \(A_{1}A_{2} \ldots A_{10}\) ir spēkā sakarība \(A_{1}A_{2}+R=A_{1}A_{4}\), kur \(R\) ir tam apvilktās riņķa līnijas rādiuss!

Pierādīt, ka katram naturālam \(n\) izteiksme \(3n^{5}+5n^{4}-8n\) dalās ar \(10\).

Votivapu valodā visi vārdi sastāv tikai no diviem burtiem \(a\) un \(b\). Jebkuru vārdu var iegūt no vārda "\(a\)", atkārtoti lietojot šādus trīs likumus:

1. pierakstot vārdam galā burtu \(b\);
2. pierakstot vārdam galā sevi pašu;
3. aizstājot vārdā trīs pēc kārtas esošus burtus \(a\) ar vienu burtu \(b\).

Vai votivapu valodā ir vārdi (A) \(abbababab\); (B) \(baabaabaa\)?

Vai uz rūtiņu lapas var uzzīmēt \(1612\) - stūri, kura laukums ir \(2015\) rūtiņas un kura malas iet pa rūtiņu līnijām?

Pierādīt, ka regulāram četrpadsmitstūrim \(A_{1}A_{2} \ldots A_{14}\) ir spēkā sakarība \(A_{1}A_{2}+A_{1}A_{6}=A_{1}A_{4}+R\), kur \(R\) ir tam apvilktās riņķa līnijas rādiuss!

Aija izvēlas naturālu skaitli \(n \leq 100\) un veido skaitļu virkni, kur katru nākamo virknes locekli iegūst pēc šāda likuma:

• ja \(2 n \leq 100\), tad virknes nākamais loceklis ir \(2n\);
• ja \(2 n>100\), tad virknes nākamais loceklis ir \(2n-100\).

Ja virknē vēl kādreiz parādās skaitlis \(n\), tad skaitli \(n\) sauksim par patīkamu. Cik pavisam ir patīkamu skaitļu, kas nepārsniedz \(100\)?

Piemēram, skaitlis \(40\) ir patīkams, jo \(40;\ 80;\ 60;\ 20;\ 40;\ \ldots\), bet \(25\) - nav, jo \(25;\ 50;\ 100;\ 100;\ \ldots\) (tālāk virknē nav skaitļu, kas atšķirīgi no \(100\)).