Vienā gājienā no 1.zīm. attēlotās figūras var izvēlēties jebkuru 2.zīm. redzamo figūru (figūru var arī pagriezt) un tajā ierakstītajiem skaitļiem vai nu pieskaitī \(1\), vai arī atņemt \(1\).

Vai, atkārtoti izpildot šādus gājienus, var panākt, ka visās šūnās ir ierakstīts skaitlis \(2015\)?

Cik daudz ir piecciparu skaitļu, kas sastāv tieši no trīs dažādiem cipariem, no kuriem neviens nav \(0\) un neviens neatkārtojas vairāk kā divas reizes?

Uz galda rindā novietotas sešas monētas, zināms, ka starp tām ir vismaz viena īsta un vismaz viena viltota monēta, kas ir vieglāka nekā īstā. Visas īstās monētas sver vienādi, un arī visas viltotās monētas sver vienādi, bet ir vieglākas par īstajām. No katras īstās monētas pa labi (ne noteikti blakus) atrodas kāda viltota monēta, bet no katras viltotās pa kreisi (ne noteikti blakus) atrodas kāda īsta monēta. Kā ar divām svēršanām ar sviru svariem bez atsvariem var noteikt katra veida monētu skaitu?

Reizināšanas piemērā ciparus aizstāja ar burtiem - vienādi cipari tika aizstāti ar vienādiem burtiem, dažādi - ar dažādiem. Tika iegūta šāda izteiksme:

\[EJA \cdot M=2015\]

Nosaki, kāds cipars atbilst katram burtam! Atrodi visas iespējas un pamato, ka citu nav!

Kvadrāts \(ABCD\) sagriezts kvadrātos, katra iegūtā kvadrāta perimetrs ir naturāls skaitlis. Vai kvadrāta \(ABCD\) perimetrs noteikti ir naturāls skaitlis?

Kāds ir mazākais naturālais skaitlis \(n\), kuru iespējams izteikt kā trīs dažādu naturālu skaitļu \(a\), \(b\) un \(c\) summu tā, ka visi skaitļi \(a+b\), \(a+c\), \(b+c\) ir naturālu skaitļu kvadrāti?

Apskata visas funkcijas \(y=ax^{2}+x+b\), kur koeficientus \(a\) un \(b\) saista sakarība \(a+2b=2015\).

Pierādīt, ka visu šādu funkciju grafikiem ir divi kopīgi punkti!

Tabulā, kuras izmēri ir \(3 \times 3\) rūtiņas, katrā rūtiņā ierakstūts tieši viens naturāls skaitlis no \(1\) līdz \(9\) (visi ierakstītie skaitļi ir dažādi). Katrām divām rūtiņām ar kopīgu malu aprēķina tajos ierakstīto skaitļu summu. Vai iespējams, ka neviena no šīm summām nav pirmskaitlis?

Uz vienādmalu trijstūra \(ABC\) malām \(AB\) un \(BC\) attiecīgi atlikti punkti \(M\) un \(N\) tā, ka \(MB+BN=AC\). Pierādi, ka \(\sphericalangle MAN+\sphericalangle MCN=60^{\circ}\).

Niknajam jūras laupītājam Smuidrim ir četras kaudzes ar zelta monētām. Viņš māk vienu kaudzi sadalīt \(3\) vai \(5\) mazākās kaudzēs. Vai, atkārtoti izpildot šādas darbības, Smuidris varēs iegūt tieši \(2015\) kaudzes, ko piešķirt saviem palīgiem?

Tabulā, kuras izmēri ir \(3 \times 3\) rūtiņas, katrā rūtiņā ierakstīts viens naturāls skaitlis, kas nepārsniedz \(10\), visi ierakstītie skaitļi ir dažādi. Katrām divām rūtiņām ar kopīgu malu aprēķina tajos ierakstīto skaitļu summu. Vai iespējams, ka visas iegūtās summas ir pirmskaitļi?

Izliekta četrstūra \(ABCD\) malu \(AB,\ BC,\ CD\) un \(DA\) viduspunkti ir attiecīgi \(E,\ F,\ G\) un \(H\). Nogrieznis \(AF\) krustojas ar \(DE\) un \(BG\) attiecīgi punktos \(K\) un \(L\), bet \(CH\) krustojas ar \(DE\) un \(BG\) attiecīgi punktos \(N\) un \(M\). Pierādīt, ka \(S_{BFL}+S_{CMG}+S_{DNH}+S_{AKE}=S_{KLMN}\) !

Vairāku pēc kārtas sekojošu naturālu skaitļu summa ir \(177\). Kādas vērtības var pieņemt mazākais no šiem saskaitāmajiem?

Rihards ir izcepis interesantas formas torti, kuras pamatā ir \(17\) kvadrātveida cepumi (skat. 1.att.). Parādi vienu veidu, kā torti sadalīt četros pēc formas vienādos gabalos, lai katrs saturētu tieši četrus cepumus, un gabaliņš ar vienu cepumu paliktu pāri. Tā kā tortes augšpuse ir izdekorēta, tad gabalus drīkst grozīt, bet nedrīkst apmest otrādi.

Vai eksistē tādi naturāli skaitļi \(a,\ b\) un \(c\), ka skaitļa \(a^{2}+b^{2}+c^{2}\)

(A) pēdējie divi cipari ir \(15\);
(B) pēdējie četri cipari ir \(2015\)?

Regulāra astoņstūra virsotnēs pēc kārtas uzrakstīti skaitļi \(7,\ 15,\ 3,\ 17,\ 1,\ 9,\ 5,\ 11\). Ar skaitļiem atļauts veikt šādas darbības:

• pieskaitīt kādam skaitlim divus skaitļus, kas atrodas blakus virsotnēs;
• atņemt no skaitļa divkāršotu pretējā virsotnē uzrakstīto skaitli, ja starpība ir pozitīva.

Vai, atkārtoti izpildot šīs darbības, var panākt, ka vienā no virsotnēm būs ierakstīts skaitlis \(2014\)?

Atrisināt nevienādūbu \(|x-2|-6+\frac{5}{|x-2|}>0\).

Mudīte ar automašīnu plkst. 7:10 devās ceļā no Skrundas uz Daugavpili, braucot cauri Rīgai. Rīgā viņa iebrauca plkst. 9:10 un no Rīgas uz Daugavpili izbrauca plkst. 9:40. Daugavpilī vina nokļuva plkst. 12:40. Aprēķini attālumu no Skrundas līdz Rīgai, ja attālums no Rīgas līdz Daugavpilij ir \(225\) kilometri! Braukšanas ātrums visā ceļa posmā bija viens un tas pats.

Raimonds stāv upes krastā un viņam ir divi spaiņi. Viena spaiņa tilpums ir \(10\) litri, bet otra spaiņa tilpumu Raimonds ir aizmirsis - tas ir vai nu \(7\), vai \(8\) litri. Kā Raimondam ar ūdens pārliešanu palīdzību noteikt otrā spaiņa tilpumu? Nekādu citu palīglīdzekļu Raimondam nav un ieskatoties nepilnā spainī nav iespējams precīzi noteikt tajā esošā ūdens daudzumu.

Sensenos laikos saimnieciskajam Gotfrīdam bija \(99\) aitas un \(21\) kamielis, citu mājlopu Gotfrīdam nebija. Bagdādē par \(4\) kamieļiem pretī varēja saņemt \(8\) aitas, bet Damaskā par \(5\) aitām pretī varēja saņemt \(3\) kamieļus. Vai, atkārtoti mainot dzīvniekus tikai šajās divās pilsētās, Gotfrīds varēja iegūt tieši \(2015\) mājlopus?

Veikalā ir divu veidu saldumu pakas. Vienā pakā ir \(8\) vienādas lielas šokolādes un \(6\) vienādas mazas šokolādes, bet otrā pakā ir \(12\) tādas pašas lielas šokolādes un \(6\) tādas pašas mazas šokolādes. Aprēķini, cik maksā viena lielā šokolāde un cik maksā viena mazā šokolāde, ja pirmās pakas cena ir \(15\) eiro un otrās - \(21\) eiro! (Pakas cena veidojas, saskaitot tajā ielikto šokolāžu cenu.)

Ar naturālu skaitli atļauts veikt šādas darbības:

• pieskaitīt \(6\);
• dalīt ar \(4\), ja skaitlis dalās ar \(4\);
• mainīt vietām skaitļa ciparus (skaitļa sākumā nedrīkst atrasties nulle).

Vai, atkārtoti izpildot šīs darbības, no skaitļa \(30\) var iegūt skaitli \(2015\)?

Pierādi, \(ka\) (A) \(49^{5}+7^{9}\) dalās ar \(2\); (B) \(49^{5}-7^{9}\) dalās ar \(6\).

Autoservisā "Šrotiņš" ir \(39\) mašīnas. Naskais Maigonis katra mēneša \(20.\) datumā vai nu pārdod \(7\) restaurētas mašīnas un to vietā nopērk \(16\) vecas mašīnas, vai arī \(19\) mašīnas nodod metāllūžņos un to vietā nopērk \(4\) vecas mašīnas. Nekādas citas darbības, kas maina mašīnu skaitu, netiek veiktas. Vai iespējams, ka "Šrotiņā" kāda mēneša \(21.\) datumā būs tieši \(2015\) mašīnas?

Uz kvadrāta \(ABCD\) malas \(AB\) kā pamata uz kvadrāta ārpusi konstruēts trijstūris \(AEB\). Taisne, kas vilkta no \(E\) caur kvadrāta diagonāļu krustpunktu \(O\), krusto kvadrāta malu \(AB\) punktā \(F\) un malu \(DC\) - punktā \(G\). Zināms, ka \(\sphericalangle OEB=\sphericalangle OCG\). Pierādīt, ka trijstūris \(AEB\) ir taisnleņķa!

Ar naturālu skaitli atļauts izdarīt šādas darbības:

• pieskaitīt skaitlim tā ciparu summu;
• atņemt no skaitļa tā ciparu summu.

Vai, atkārtoti izpildot šīs darbības, no skaitļa \(139\) var iegūt skaitli (A) \(63\); (B) \(193\)?

Taisnstūris \(ABCD\) sagriezts kvadrātos, katra iegūtā kvadrāta perimetrs ir naturāls skaitlis. Vai taisnstūra \(ABCD\) perimetrs noteikti ir naturāls skaitlis?

Uz parabolas \(y=ax^{2}+bx+c\) atrodas punkts \(M(1;15)\), tās virsotne ir punktā \(N(-3;-1)\). Noteikt koeficientus \(a\), \(b\) un \(c\)!

Bagātajai Austrumu princesei Smuidrai zem gultas ir \(6\) lādes. Sākumā lādēs ir attiecīgi \(1,\ 5,\ 0,\ 0,\ 2,\ 3\) zelta monētas. Katru stundu viņa izvēlas \(2\) lādes un katrā no tām pieliek klāt \(1\) monētu. Vai, atkārtoti izpildot šādas darbības, var panākt, ka kādā brīdī visās lādēs būs vienāds skaits monētu?

Sivēntiņš \(229\) ābolus salika \(60\) grozos. Dažos grozos viņš ielika \(x\) ābolus, bet pārējos - katrā pa \(3\) āboliem. Nosaki visas iespējamās naturālās \(x\) vērtības!

Vai eksistē tāds vesels skaitlis \(x\), ka visi skaitļi

(A) \(x,\ x+23,\ x+45,\ x+121\);
(B) \(x,\ x+23,\ x+46,\ x+121\)

ir veselu skaitļu pakāpes ar naturālu kāpinātāju, kas lielāks nekā \(1\) (kāpinātāji var būt dažādi)?

Atrisināt vienādojumu \((x-2) \log _{\sqrt{6}}\left(x^{2}-5x\right)=2x-\log _{\sqrt{6}} 36\).

Uz trijstūra \(XAC\) malas \(XC\) atlikts iekšējs punkts \(B\) tā, ka \(AB=AC\). Leņķu \(ACB\) un \(ABX\) bisektrises krustojas punktā \(D\). Pierādīt, ka \(AD=AB\)!

Kurš no skaitļiem \((a+b)(c+d)\), \((b+c)(d+a)\), \((a+c)(b+d)\) ir vislielākais un kurš vismazākais, ja zināms, ka \(a>b>c>d>0\)? Pamato atbildi!

Rūtiņu lapā uzzīmēta figūra (skat. 2.att.). Kāds ir lielākais skaits 3.att. doto figūru, ko var izgriezt no 2.att. figūras? Griezuma līnijām jāiet pa rūtiņu malām.

Vai jebkuru taisnstūri var sagriezt (A) \(2014\), (B) \(2015\) savstarpēji līdzīgos trijstūros?

Atrisini vienādojumu \(\frac{8a-5}{5}-\frac{2a-7}{2}=-3\).

Dots taisnstūris ar izmēriem \(n \times m\) rūtiņas. Sākumā katrā rūtiņā ir ierakstīts \(5\). Māris dotajā taisnstūrī veic secīgas darbības:

1. izvēlas kādu taisnstūri un visās tā rūtiņās ieraksta ciparu \(1\);
2. izvēlas kādu taisnstūri un visās tā rūtiņās ieraksta ciparu \(2\);
3. izvēlas kādu taisnstūri un visās tā rūtiņās ieraksta ciparu \(3\);
4. visbeidzot izvēlas kādu taisnstūri un visās tā rūtiņās ieraksta ciparu \(4\).

Katra izvēlētā taisnstūra malām jāiet pa rūtiņu līnijām un cipars vienmēr jāraksta rūtiņā jau esošā skaitļa labajā pusē.

Vai iespējams, ka visās rūtiņās ierakstītie skaitļi ir dažādi, ja dotā taisnstūra izmēri ir (A) \(3 \times 6\), (B) \(3 \times 5\), (C) \(4 \times 4\) rūtiņas?

Atrisināt vienādojumu \(\frac{5}{x^{2}-9}-\frac{1}{3-x}=\frac{1}{2}\).

Uz tāfeles uzrakstīti naturāli skaitļi no \(1\) līdz \(13\). Dārta grib nodzēst vienu no tiem, bet pārējos ierakstīt \(3 \times 4\) rūtiņu tabulā (katru skaitli vienā rūtiņā) tā, lai visās rindās un kolonnās skaitļu vidējais aritmētiskais būtu vienāds.

(A) Pierādīt, ka ir tieši viens skaitlis, kuru nodzēšot, viņa to varēs izdarīt!
(B) Atrast vienu skaitļu izvietojuma piemēru!