Atrast visas tādas vesela skaitļa \(n\) vērtības, kurām gan \(\frac{n^{3}+3}{n+3}\), gan \(\frac{n^{4}+4}{n+4}\) ir veseli skaitļi.

Gatavojoties vēlēšanām politiskās partijas saviem vēlētājiem kopumā ir devušas \(s\) (naturāls skaitlis) dažādus solījumus. Zināms, ka jebkurām divām partijām var atrast vismaz vienu solījumu, ko devušas abas partijas. Tajā pat laikā nav iespējams atrast divas partijas, kuru dotie solījumi sakristu pilnībā - ir iespējams atrast vismaz vienu solījumu, ko viena partija ir devusi, bet otra - nē. Kāds ir lielākais iespējamais partiju skaits, kas gatavojas vēlēšanām?

Ir pieejams neierobežots daudzums \(7\) un \(13\) centu pastmarku, kuras izmanto pasta sūtījumu apmaksāšanai. Diemžēl dažas summas nav iespējams apmaksāt tikai ar šīm pastmarkām (piemēram, ja sūtījums maksā \(6,\ 8\) vai \(25\) centus). Kāda ir lielākā summa, kuru nav iespējams apmaksāt izmantojot tikai šīs pastmarkas?

Vai eksistē tāds naturāls skaitlis \(n\), ka, noapaļojot izteiksmju \(\sqrt{10^{2n}-10^{n}}\) un \(\sqrt{10^{2n}-10^{n}+1}\) vērtības līdz tuvākajam naturālajam skaitlim, iegūtie skaitļi ir vienādi?

Katram naturālam skaitlim \(n\) ir definēta funkcija \(f(n)=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}\). Pierādīt, ka visiem \(n>1\) ir spēkā sakarība \(n+f(1)+f(2)+\ldots+f(n-1)=nf(n)\).

Naturālus skaitļus \(a,\ b\) un c saista sakarība \(c^{2}=a^{2}+b^{2}\). Pierādīt, ka katru no skaitļiem \(c^{2}+ab\) un \(c^{2}-ab\) var izteikt kā divu naturālu skaitļu kvadrātu summu.

Kādu mazāko vērtību var pieņemt izteiksme \(x+\frac{2014}{x}\), ja \(x>0\)?

Vai var atrast tādu naturālu \(n\) vērtību, kam piemīt īpašība: visu skaitļa \(n\) naturālo dalītāju, izņemot \(1\) un \(n\), kvadrātu summa vienāda ar \(n^{2}\).

Atrast vienādojuma \(\left(x^{2}+5x-7\right)^{2}-2\left(x^{2}+5x-6\right)-4=0\) sakņu kubu summu.

1. zīmējumā redzamās figūras \(12\) virsotnēs nepieciešams ierakstīt pirmos \(12\) naturālos skaitļus (katrā virsotnē - vienu) tā, lai katras rūtiņas virsotnēs ierakstīto četru skaitļu summa būtu vienāda ar \(M\). Vai to var izdarīt, ja (A) \(M=28\); (B) \(M=26\)?

Gatavojoties \(13\) diplomātu apspriedei, krēsli tika izvietoti ap apaļu galdu vienādos attālumos un katrai no vietām tika sagatavota plāksnīte ar diplomāta vārdu. Diemžēl, ieņemot vietas pie galda, diplomāti šīs plāksnītes neņēma vērā un izrādījās, ka neviens no diplomātiem nav apsēdies pretī savai plāksnītei.

(A) Pierādīt: nepārsēdinot diplomātus, galdu ir iespējams pagriezt tā, ka vismaz divi diplomāti atradīsies pret savām plāksnītēm.
(B) Pierādīt: ja sākumā tieši viens diplomāts būtu sēdējis pret savu plāksnīti, tad ir iespējams, ka viņi apsēdušies tā, ka, pagriežot galdu, nav iespējams panākt, ka pret savu plāksnīti atradīsies vairāk par vienu diplomātu.

Atrisināt vienādojumu sistēmu

\[\left\{\begin{array}{l} 5(x+y+z)=xyz \\ x=y+z \end{array}\right.\]

Taisnleņķa trijstūra \(ABC\) taisnais leņķis ir \(A\). Punkts \(X\) ir no \(A\) pret \(BC\) vilktā augstuma pamats. Nogriežņa \(XC\) viduspunkts ir \(Y\). Uz malas \(AB\) pagarinājuma izvēlēts punkts \(D\) tā, ka \(AB=BD\). Pierādīt, ka \(DX\) ir perpendikulārs \(AY\).

Izteiksmē \(\pm 1 \pm 2 \pm 3 \pm \ldots \pm 100=2014\) katru zīmi "\(\pm\)" aizvietoja vai nu ar "+", vai "-" tā, lai izteiksme būtu patiesa. Kāds lielākais "+" zīmju skaits var būt šajā izteiksmē?

Noteikt, kāds ir lielākais skaits, cik no pieciem naturāliem skaitļiem \(a,\ a+14,\ a+22,\ a+32,\ a+46\) var būt pirmskaitļi.

Divas dažāda rādiusa riņķa līnijas ar centriem punktos \(B\) un \(C\) ārēji saskaras punktā \(A\). Abu riņķa līniju kopējā pieskare, kas neiet caur punktu \(A\), pirmajai riņķa līnijai pieskaras punktā \(D\), bet otrai - punktā \(E\). Taisne, kas novilkta caur \(A\) perpendikulāri \(DE\), krusto nogriežņa \(BC\) vidusperpendikulu punktā \(F\). Pierādīt, ka \(BC=2AF\).

Šaha festivālā piedalījās \(2014\) dalībnieki, daži savā starpā arī izspēlēja vienu šaha partiju. Zināms, ka starp jebkuriem trim festivāla dalībniekiem noteikti ir divi, kuri savā starpā ir izspēlējuši partiju. Kāds ir mazākais iespējamais kopējais šaha partiju skaits, kas ir izspēlētas šajā festivālā?

Platleņķa trijstūra \(ABC\) platais leņķis ir \(BAC\). Novilktas trīs riņķa līnijas tā, ka trijstūra \(ABC\) malas ir attiecīgi šo riņķa līniju diametri. Bez trijstūra virsotnēm riņķa līnijas pa pāriem krustojas vēl trīs punktos - \(P,\ Q\) un \(R\). Pierādīt, ka \(A\) ir trijstūra \(PQR\) bisektrišu krustpunkts.

Riņķa līnijā ar centru punktā \(O\) novilkti divi savstarpēji perpendikulāri rādiusi \(OA\) un \(OB\). Nogrieznis \(AC\) ir trijstūra \(BAO\) mediāna, \(CD\) ir trijstūra \(ACO\) bisektrise, punkts \(E\) izvēlēts uz mazākā loka \(AB\) tā, ka \(ED\) ir trijstūra \(AEO\) augstums. Aprēķināt leņķa \(AED\) lielumu grādos.

Naturālu skaitļu virknes pirmie trīs locekļi ir vienādi ar \(1\), bet katrs nākamais ir vienāds ar trīs iepriekšējo skaitļu summu. Cik starp virknes pirmajiem (A) \(100\), (B) \(2014\) locekļiem ir tādi, kas dalās ar \(5\)?