Dots, ka \(a+b+c=0\) un \(a \neq 0\). Pierādīt, ka vienādojumam \(ax^{2}+bx+c=0\) ir saknes (varbūt vienādas), un izteikt tās, neizmantojot kvadrātsaknes zīmi.

Pilsētas ielu tīkls veido kvadrātveida režģi, kas sastāv no \(8 \times 8\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām. Katrā no \(81\) rūtiņu stūriem ir autobusu pietura; citu pieturu nav. Kādu vismazāko skaitu autobusa maršrutu jāievieš, lai no katras pieturas varētu aizbraukt uz katru citu, izdarot ne vairāk kā vienu pārsēšanos? Pa katru maršrutu autobuss kursē abos virzienos; katrs maršruts drīkst saturēt augstākais vienu pagriezienu.

Riņķa līnijā ar centru punktā \(O\) novilkti divi savstarpēji perpendikulāri rādiusi \(OA\) un \(OB\). Caur hordas \(AB\) viduspunktu \(C\) novilkta horda \(DE\), kas paralēla \(OA\) (punkts \(D\) atrodas uz mazākā loka \(AB\)). Aprēķināt leņķa \(AOD\) lielumu!

Pareizā vienādībā \(4 \cdot 4=16\) var katru ciparu izmainīt tieši par \(1\) un atkal iegūt pareizu vienādību \(5 \cdot 5=25\). Atrast

(A) kaut vienu piemēru ar tādu pašu īpašību, kurā reizina viencipara skaitli un trīsciparu skaitli,
(B) kaut vienu piemēru ar tādu pašu īpašību, kurā reizina viencipara skaitli un divciparu skaitli, pie tam sākotnējā vienādībā ir vismaz četri dažādi cipari.

Pierādīt, ka, izvēloties \(52\) no aritmētiskās progresijas \(1,\ 4,\ 7,\ 10,\ \ldots\) locekļiem, kas nepārsniedz \(300\), vienmēr starp šiem skaitļiem var atrast divus skaitļus, kuru summa ir \(302\).

Uz ballīti ieradās \(N(N>1)\) cilvēki un ballītes beigās katrs uz lapiņas uzrakstīja veselu skaitli robežās no \(0\) līdz \(N-1\) - cik jau iepriekšs pazīstamus cilvēkus ballītē saticis. Uzskatīsim, ka pazīšanās ir abpusēja - ja \(A\) pazīst \(B\), tad \(B\) pazīst \(A\). Vai var būt, ka uz visām lapiņām bija uzrakstīti nepāra skaitļi, ja (A) \(N=2014\), (B) \(N=2401\)?

Grozos pa apli izvietotas \(2014\) konfektes tā, ka blakus grozos konfekšu skaits atšķiras tieši par \(1\). Zināms, ka ir vismaz divi grozi un katrā grozā ir vismaz viena konfekte. Kāds var būt (A) vismazākais; (B) vislielākais grozu skaits?

Uz rūtiņu lapas uzzīmēti divi taisnstūri ar izmēriem \(1 \times 3\) rūtiņas tā, ka tie nepārklājas un saskaras pa veselu skaitu rūtiņu malām, veidojas daudzstūris, no \(6\) rūtiņām, kura malas iet pa rūtiņu līnijām. Katrs no taisnstūriem var būt novietots vertikāli vai horizontāli. Kāds var būt iegūtās figūras perimetrs? (Atrodi visas iespējamās vērtības un pamato, kāpēc nav citu!)

Naturālā vienpadsmitciparu skaitlī vienādus ciparus aizstāja ar vienādiem burtiem, bet dažādus - ar dažādiem; ieguva pierakstu \(PĀRSTEIGUMS\). Zināms, ka šis skaitlis dalās ar \(18\). Noteikt, kurš cipars aizstāts ar burtu \(S\). Atbildi pamatot!

Uz tāfeles uzrakstīti visi trīsciparu skaitļi, kas dalās ar \(31\):

\[124,\ 155,\ 186,\ 217,\ \ldots,\ 961,\ 992\]

Kādiem naturāliem skaitļiem \(n\) piemīt šāda īpašība: visu skaitļa \(n\) naturālo dalītāju, izņemot \(1\) un \(n\), kvadrātu summa ir vienāda ar pašu skaitli \(n\)?

Grāmatas lappuses ir sanumurētas ar naturāliem skaitļiem no \(1\) līdz \(2014\) pēc kārtas. Cik lappušu numuros ir sastopams vismaz viens no cipariem \(3\) vai \(7\)?

Zināms, ka \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{10}\) ir tādi dažādi nepāra naturāli skaitļi, ka \(a_{1}>\sqrt{a_{2}}\), \(a_{2}>\sqrt{a_{3}}\), \(\ldots\), \(a_{9}>\sqrt{a_{10}}\) un \(a_{10}>\sqrt{a_{1}}\). Aprēķināt vismazāko summas \(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{10}\) vērtību.

\[\square \cdot x+ \square = \square\]

Ariadne vienā (jebkurā) rūtiņā ieraksta vienu skaitli, pēc tam Eleonora citā rūtiņā ieraksta vienu skaitli un beidzot Ariadne ieraksta skaitli atlikušajā tukšajā rūtiņā. Pierādīt, ka Ariadne var panākt jebkuru no trim situācijām:

(A) vienādojumam ir tieši viens atrisinājums,
(B) vienādojumam nav atrisinājumu;
(C) vienādojumam ir bezgalīgi daudz atrisinājumu.

(Spēles sākumā jau zināms, kuru situāciju jāiegūst.)

Atrodiet kaut vienu tādu skaitli \(a\), ka vienlaicīgi izpildās šādas īpašības:

a. noapaļojot \(a\), \(3 \cdot a\), \(5 \cdot a\), \(7 \cdot a\) līdz veselam skaitlim, jānoapaļo uz leju; b. noapaļojot \(2 \cdot a,\ 4 \cdot a,\ 6 \cdot a\) līdz veselam skaitlim, jānoapaļo uz augšu.

Taisnstūra malu garumi ir veseli skaitļi, tā perimetrs ir par \(8\) mazāks nekā taisnstūra laukums. Atrast visus šādus taisnstūrus.

Cik starp pirmajiem \(2014\) naturālajiem skaitļiem ir tādu skaitļu \(x\), ka skaitlis \(x(x+1)(x+2)\) dalās ar \(87\)?

Vai vienādojumam \(2x^{2}+a^{2}+b^{2}=2x \cdot(a+b)\) ir atrisinājums, ja \(a\) un \(b\) ir dažādi skaitļi?

Figūra "sienāzis" apdraud tās rūtiņas, kas tai pieskaras ar stūriem (skat. 1.zīm, kur \(s\) - sienāzis, \(x\) - rūtiņas, ko tas apdraud). Cik dažādos veidos uz \(8 \times 8\) rūtiņu šaha galdiņa var novietot vienu baltu un vienu melnu sienāzi (katru savā rūtiņā) tā, lai tie viens otru neapdraudētu?

Polinoms \(P(x)\), kura visi koeficienti ir veseli skaitļi, piecām veselām \(x\) vērtībām pieņem vērtību \(2000\). Pierādīt, ka nav tādas veselas \(x\) vērtības, pie kuras dotais polinoms pieņem vērtību \(2014\).

Uz ballīti ieradās \(N\) (\(N>1\)) cilvēki un ballītes beigās katrs uz lapiņas uzrakstīja veselu skaitli robežās no \(0\) līdz \(N-1\) - cik jau iepriekš pazīstamus cilvēkus ballītē saticis. Uzskatīsim, ka pazīšanās ir abpusēja - ja \(A\) pazīst \(B\), tad \(B\) pazīst \(A\). Izrādījās, ka uz visām lapiņām bija uzrakstīti atšķirīgi skaitļi. Pierādīt, ka vismaz viens no ballītes apmeklētājiem ir kļūdījies.

Zināms, ka \(a>\frac{1}{2}\), \(b>\frac{1}{2}\), \(c>\frac{1}{2}\) un \(x\) ir vienādojuma \(x^{3}-ax^{2}+bx-c=0\) sakne. Pierādīt, ka \(x>-\frac{1}{2}\).

No četrciparu skaitļa \(A\) atņemot trīsciparu skaitli \(B\), iegūst \(8002\). Šos pašus skaitļus \(A\) un \(B\) saskaitot, iegūst piecciparu skaitli. Atrast \(A\) un \(B\).

Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu \(3abc+3a+3b=7bc+7\).

Kādā pilsētā ir \(n\) detektīvi (\(n \geq 2\)) un cita starpā tie izseko arī viens otru. Zināms, ka jebkuriem diviem detektīviem \(A\) un \(B\) vai nu \(A\) izseko \(B\), vai \(B\) izseko \(A\). Pierādīt, ka visus detektīvus var nostādīt vienā rindā tā, ka pirmais izseko otro, otrais - trešo, \(\ldots\), \((n-1)\)-ais izseko \(n\)-to.

Neviens no reāliem skaitļiem \(x\), \(y\) un \(z\) nav nulle un \(x+y+z=xyz\). Pierādīt, ka

\[\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}} \geq 1\]

Kvadrāta \(ABCD\) malas garums ir \(1\); \(M\) ir malas \(AD\) viduspunkts. Nogriežņi \(AC\) un \(BM\) krustojas punktā \(S\). Aprēķināt trijstūra \(ASM\) laukumu.

Doti \(99\) punkti, daži no šiem punktiem savienoti ar nogriežņiem. Vai var būt tā, ka no katra punkta iziet nepāra skaits nogriežņu?

Grāmatas lappuses ir sanumurētas ar naturāliem skaitļiem no \(1\) līdz \(2014\) pēc kārtas. Cik lappušu numuros ir sastopams cipars \(7\)?

Uz paralelograma \(ABCD\) pretējām malām \(AB\) un \(CD\) atzīmēti attiecīgi punkti \(E\) un \(F\). Nogriežņu \(AF\) un \(DE\) krustpunkts ir \(H\), bet \(BF\) un \(CE\) krustpunkts ir \(G\). Pierādīt, ka \(S_{EGFH}=S_{ADH}+S_{BCG}\).

Uz tāfeles rindā uzrakstīti naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(20\). Roberts izvēlas jebkurus divus no tiem, nodzēš tos un rindas galā uzraksta šo skaitļu starpību (ja skaitļi ir dažādi, starpību aprēķina, no lielākā skaitļa atņemot mazāko). Šo darbību atkārto, kamēr uz tāfeles paliek viens skaitlis.

(A) Vai iespējams, ka šis skaitlis ir \(0\)?
(B) Vai iespējams, ka šis skaitlis ir \(1\)?

Uz taisnā leņķa \(KLM\) malām atlikti punkti \(X\) un \(Y\) (katrs uz savas malas); uz tā bisektrises ņemts tāds punkts \(O\), ka \(\sphericalangle XOY=90^{\circ}\). Pierādīt, ka \(OX=OY\).

Cik ir tādu piecciparu skaitļu, kuru pierakstā ir vismaz viens nepāra cipars?

Alise nēsā rokassprādzes, kas sastāv no virtenē savērtām \(10\) melnām un \(20\) baltām pērlītēm. Marta zaķis prot rokassprādzei samainīt divas pērlītes vietām tad, ja starp tām atrodas tieši trīs citas pērlītes. Cik rokassprādzes Alise var vienlaicīgi nēsāt, lai Marta zaķis ar atkārtotām darbībām no tām nevarētu iegūt divas vienādas? Rokassprādzes tiek uzskatītas par vienādām, ja tās sakrīt pagriežot pa apli (ap roku).

Dots, ka \(x^{3}>2\). Pierādīt, ka (A) \(x^{6}>4\); (B) \(x^{7}>5\).

Rūtiņu lapā uzzīmēt figūru, kuras malas iet pa rūtiņu līnijām un kuru var sadalīt četrās daļās tā, ka katra daļa sastāv no veselām rūtiņām un katra daļa saskaras ar katru citu daļu vismaz pa vienas rūtiņas malu. Vai prasītās figūras laukums var būt mazāks par \(10\) rūtiņām?

Trijstūra virsotnes atrodas kvadrātiska rūtiņu režģa punktos. Pierādīt, ka kāda no trijstūra malām iet vai nu caur kādu citu rūtiņu režģa punktu, vai kādas rūtiņas centru.

Vai var atrast tādus \(2014\) dažādus naturālus skaiţus \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2014}\), ka

\[\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{2014}}=1?\]

Taisnstūra \(ABCD\) diagonāle \(BD\) ir taisnstūra \(BDEF\) mala, punkts \(C\) atrodas uz \(EF\). Malas \(BC\) viduspunkts ir \(G\). Pierādīt, ka \(AG=EG\).

Piecstūris \(ABCDE\) ievilkts riņķa līnijā, nogriežņi \(AD\) un \(BE\) krustojas punktā \(F\). Zināms, ka \(BC=DF=DE\). Pierādīt, ka \(AC=CE\).