Skaitļu virknei \(\left(a_{i}\right)\) visiem \(n > 1\) ir spēkā sakarība \(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}=n^{2} a_{n}\). Aprēķināt \(a_{50}\), ja zināms, ka \(a_{1}=1000\).

Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(a\) un \(b\), kuriem izpildās vienādība

\[a \cdot(3a+5b) \cdot 7b=7654321\]

Atrisināt nevienādību \(9^{x}-2 \cdot 3^{x}-3 \leq 0\).

Kvadrāts sastāv no \(8 \times 8\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām. Tas sagriezts daļās tā, ka griezumi iet pa rūtiņu robežām.

Kāds lielākais skaits daļu var būt tādas kā 2.zīm. attēlotā figūra (figūras var būt pagrieztas jebkurā stāvoklī)?

Vai kvadrātu ar malas garumu \(10\) var noklāt ar \(25\) „krustiņiem” (skat. 12.zīm.), kuri sastāv no \(5\) kvadrātiem ar malas garumu \(1\)? „Krustiņi” drīkst pārklāties, kā arī iziet ārpus dotā kvadrāta malām.

Doti septiņi dažādi naturāli skaitļi; katriem diviem no dotajiem skaitļiem aprēķināja to summu. Kāds lielākais skaits no šīm summām var būt pirmskaitļi?

Doti \(99\) naturāli skaitļi. Zināms, ka nav tāda skaitļa, ar ko dalītos visi šie skaitļi, un ka jebkuru \(50\) skaitļu reizinājums dalās ar atlikušo \(49\) skaitļu reizinājumu. Pierādīt, ka visu \(99\) skaitļu reizinājums ir naturāla skaitļa kvadrāts!

Atrast visus pirmskaiţuus \(p\), kuriem \(p^{4}-6\) arī ir pirmskaitlis!

Noteikt, vai virkne \(a_{n}=\frac{3n+7}{n+2}\), \(n\)- naturāls skaitlis, ir augoša vai dilstoša!

Rūtiņu lapā rūtiņu virsotnēs atzīmēti punkti \(A, B, C, D, E\) un novilkti nogriežņi \(AB, BC, CD\) un \(DE\) (skat. 8.zīm.). Kurš no leņķiem \(\sphericalangle ABC\) un \(\sphericalangle CDE\) ir lielāks?

Tabulas \(3 \times 3\) rūtiņās katrā rūtiņā jāieraksta pa vienam naturālam skaitlim tā, lai katrā rindā, katrā kolonnā un katrā diagonālē ierakstīto skaitļu summas būtu vienādas, bet visi tabulā ierakstītie skaitļi ir savā starpā atšķirīgi. Ir zināmi divās rūtiņās ierakstītie skaitļi (skat. 11.zīm.). Kāds ir mazākais skaitlis, kas var būt ierakstīts tabulas centrālajā rūtiņā?

Divu naturālu skaitļu pierakstā izmantoti tikai cipari \(2, 3, 7\) un \(8\). Vai var gadīties, ka viens skaitlis ir tieši trīs reizes lielāks nekā otrs skaitlis?

Katram marsietim ir trīs rokas un dažas antenas. Visi marsieši sadevās rokās (katrs marsietis sadevās rokās ar \(3\) citiem marsiešiem tā, ka visas rokas bija aizņemtas). Izrādījās, ka katriem diviem marsiešiem, kas bija sadevuši rokās, antenu skaits atšķīrās tieši \(6\) reizes. Vai kopējais antenu skaits visiem marsiešiem var būt \(2014\)?

Pūkainīšu ciemata bērniem Lieldienu zaķis atnesa olas. Katra no tām bija nokrāsota tieši vienā no krāsām- sarkanā, dzeltenā, zilā. Zināms, ka \(20 \%\) jeb \(40\) olas bija sarkanas, \(\frac{3}{4}\) no atlikušajām bija dzeltenas, bet pārējās- zilas. Aprēķini:

(A) Cik olas bija zilā krāsā?
(B) Kāda daļa no visām olām bija zilas?
(C) Cik procenti no visām olām bija dzeltenas?

Kāds ir (A) mazākais, (B) lielākais skaitlis, kuru var izteikt gan kā trīs, gan kā divu dažādu divciparu naturālu skaitļu reizinājumu?

Lelde apgalvo, ka sešas skrūves ir smagākas nekā septiņas naglas, bet Elīna apgalvo, ka septiņas skrūves ir smagākas nekā astoņas naglas. Zināms, ka vienai no meitenēm ir taisnība, bet otra kļūdās. Vai tiesa, ka \(18\) skrūves ir smagākas nekā (A) \(20\) naglas, (B) \(21\) nagla, (C) \(22\) naglas?
Visām skrūvēm svars ir vienāds, visām naglām arī.

Kvadrātā, kura malas garums ir \(2\), ievilkts riņķis un šajā riņķī ievilkts kvadrāts (skat. 10.zīm.). Aprēķināt iekrāsoto daļu laukumu summu!

Trijstūrī \(ABC\) leņķis \(\sphericalangle ABC=90^{\circ}\). Punkti \(M\) un \(N\) ir attiecīgi nogriežņu \(AC\) un \(AM\) viduspunkti. Caur \(B, M\) un \(N\) vilktā riņķa līnija krusto malas \(AB\) un \(BC\) attiecīgi to iekšējos punktos \(P\) un \(Q\). Zināms, ka \(AC \| PQ\). Aprēķināt \(\sphericalangle BAC\) vērtību!

Skaitli \(\frac{1}{13}\) pārveidoja par bezgalīgu decimāldaļu un tajā izsvītroja \(2014.\) ciparu aiz komata.

Kurš skaitlis lielāks -- sākotnējais vai iegūtais?

Uz riņķa līnijas atlikti (A) \(6\); (B) \(2014\) punkti. Viens no tiem nokrāsots sarkans, bet pārējie balti. Apskatām visus daudzstūrus, kuriem visas virsotnes ir kādi no nokrāsotajiem punktiem. Kādu daudzstūru ir vairāk- to, kam viena virsotne ir sarkana, vai to, kam visas virsotnes ir baltas?

Trijstūrī \(ABC\) novilkts augstums \(BD\) un mediāna \(BE\). Kāds var būt \(AC\) garums, ja \(ED=4~\mathrm{cm}\) un \(DC=5~\mathrm{cm}\) ?

Tabulas \(3 \times 3\) rūtiņās katrā rūtiņā jāieraksta pa vienam naturālam skaitlim tā, lai katrā rindā, katrā kolonnā un katrā diagonālē ierakstīto skaitļu summas būtu vienādas. Augšējās rindas vidējā rūtiņā ierakstīts skaitlis \(24\) (skat. 9.zīm.). Vai rūtiņā, kas apzīmēta ar jautājuma zīmi, var būt ierakstīts skaitlis (A) \(7\), (B) \(17\)?

Uz taisnstūra \(ABCD\) diagonāles \(BD\) iespējams atrast iekšēju punktu \(P\) tā, ka \(\sphericalangle PAB=\sphericalangle PCB\). Pierādīt, ka \(ABCD\) ir kvadrāts!

Taisnstūra \(ABCD\) malu garumi izsakāmi veselos centimetros. Iekrāsotās daļas laukums ir \(6~ \mathrm{cm}^{2}\) (skat. 1.zīm.). Nogrieznis \(AE\) ir \(\frac{1}{3}\) no taisnstūra malas \(AD\). Aprēķini taisnstūra laukumu un perimetru, ja zināms, ka viena taisnstūra mala ir par \(5~ \mathrm{cm}\) garāka nekā otra mala.

Ķērpjbārdis aizsūtīja Puszābaku uz veikalu pēc \(3\) ksilofoniem, \(20\) mikrofoniem un viena patafona. Puszābaks atgriezās, nopircis \(20\) ksilofonus, vienu mikrofonu un \(3\) patafonus, pie tam viņš bija iztērējis tieši tik daudz naudas, cik būtu arī, ja būtu nopircis to, ko Ķērpjbārdis viņam lūdza. Zināms, ka patafons ir lētāks nekā ksilofons. Kas ir dārgāks - ksilofons vai mikrofons? Atbildi pamatot!

Vai skaitļus no \(1\) līdz \(100\) var sadalīt divās grupās tā, ka skaitļu reizinājumi abās grupās ir vienādi?

Aplūkosim funkcijas \(y=x^{2}+ax+b\), kur \(a+2b=2014\). Pierādīt, ka visu šādu funkciju grafikiem ir kopīgs punkts!

Funkcija \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definēta visiem reāliem skaitļiem un pieņem reālas vērtības. Visiem reāliem skaitļiem \(a\) un \(b\) izpildās

\[2f(a) \leq f(b)+f(2a-b)\]

\[3f(a) \leq f(b)+f(c)+f(3a-b-c)?\]

Pierādīt, ka izliektu \(2014\)-stūri nevar sadalīt \(167\) izliektos \(14\)-stūros!

Tabulas \(3 \times 3\) rūtiņās katrā rūtiņā jāieraksta pa vienam naturālam skaitlim tā, lai katrā rindā, katrā kolonnā un katrā diagonālē ierakstīto skaitļu summas būtu vienādas. Ir zināmi divās rūtiņās ierakstītie skaitļi (skat. 5.zīm.). Kādam skaitlim jābūt rūtiņā, kas apzīmēta ar jautājuma zīmi? Atrodiet visas iespējamās vērtības un pamatojiet, ka citu nav!

Rūtiņu kvadrātā \(5 \times 5\) iekrāsot iespējami maz rūtiņu tā, lai atlikušajā daļā vairs nevarētu ievietot nevienu 4.zīm. redzamo figūru (tā var būt gan pagriezta, gan apgāzta). Pamatot, ka iekrāsoto rūtiņu skaits ir mazākais iespējamais!

Astoņi punkti savienoti ar šķautnēm kā kuba karkass (skat. 7.zīm.). Pierādīt, ka, izvēloties jebkurus \(5\) punktus, tie būs savienoti ar vismaz \(3\) šķautnēm!

Doti četri dažādi cipari, neviens no tiem nav \(0\). Visu divciparu skaitļu, kurus var izveidot no šiem cipariem, summa ir \(1276\). Atrast dotos četrus ciparus!

Dotas divas paralēlas taisnes. Uz vienas no tām atzīmēti \(14\) zaļi punkti, uz otras- \(14\) sarkani punkti. Kādu lielāko skaitu nogriežņu, kuriem viens galapunkts ir zaļš, bet otrs - sarkans, var novilkt tā, lai tie nekrustotos?

Saka, ka nogriežņi krustojas, ja tiem ir kopīgs iekšējais punkts, t.i., ja tiem ir kopīgs tikai galapunkts, tie nekrustojas.

Atrast visus naturālos skaitļus, kas nepārsniedz \(1000000\) un kuri, nosvītrojot to pirmo ciparu, samazinās \(15\) reizes!

Klementīne ar trīs savām draudzenēm brīvdienās gāja makšķererēt. Tētis viņai atļāva paņemt pusi no savas makšķerauklas. \(60 \%\) no savas daļas viņa atdeva vienai draudzenei, \(50 \%\) no atlikušās daļas- otrai draudzenei un \(\frac{2}{3}\) no atlikušās auklas- trešajai draudzenei. Beigās Klementīnei pašai palika \(1\) metrs makšķerauklas. Cik gara bija makšķeraukla pašā sākumā?

Kvadrāts, kura malas garums ir \(4~\mathrm{m}\), sagriezts taisnstūros, kā parādīts 3.zīm. Četru izcelto nogriežņu garumu summa ir \(2~\mathrm{m}\). Aprēķināt iekšējā taisnstūra perimetru!

Kādu mazāko skaitu rūtiņu jāizgriež no kvadrāta \(6 \times 6\), lai no atlikušās daļas nevarētu izgriezt 6.zīm. parādīto figūru? (Figūru malām jāiet pa rūtiņu līnijām.)

Ap šaurleņķu trijstūri \(ABC\) apvilkta riņķa līnija. Loka \(AB\) (kuram nepieder punkts \(C\)) viduspunkts ir \(N\), bet loka \(AC\) (kuram nepieder punkts \(B\)) viduspunkts ir \(M\). Nogrieznis \(NM\) krusto malu \(AB\) punktā \(K\). Trijstūrī \(ABC\) ievilktās riņķa līnijas centrs ir punktā \(O\). Pierādīt, ka \(OK \| AC\) !

Caur trijstūra \(ABC\) malas \(AB\) iekšēju punktu \(P\) novilkta taisne, kas ir paralēla \(BC\) un krusto \(\triangle ABC\) apvilkto riņķa līniju punktos \(M\) un \(N\) (\(M\) atrodas uz īsākā loka \(AB\), bet \(N\)- uz īsākā loka \(AC\)). \(MC\) krusto \(AB\) punktā \(Q\). Pierādīt, ka \(NQ\) iet caur trijstūriem \(AMQ\) un \(APN\) apvilkto riņķka līiju krustpunktu!