Pierādīt, ka vienādojumam \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}=\frac{1}{2}\) nav atrisinājuma naturālos skaitļos.

Funkcija \(f(x)=(x+10)x(x-1)(x-11)\) definēta visām reālām \(x\) vērtībām. Atrast mazāko iespējamo \(f(x)\) vērtību.

Vienādojuma \(x^{3}-44x^{2}+623x-2860=0\) saknes ir taisnstūra paralēlskaldņa malu garumi, kas izteikti centimetros.

Aprēķināt šī paralēlskaldņa pilnas virsmas laukumu un tilpumu.

Atrast tādas ciparu \(a, b, c, d\) vērtības, lai izpildītos vienādība \(\overline{abcd}+\overline{abc}+\overline{ab}+a=2013\).

(Pieraksts \(\overline{xyzt}\) nozīmē, ka četrciparu skaitlī ir \(x\) tūkstoši, \(y\) simti, \(z\) desmiti un \(t\) vieni.)

Dota rūtiņu lapa ar izmēriem \(n \times m\) (\(n, m\)- naturāli skaitļi) rūtiņas. Divi spēlētāji spēlē šādu spēli, pēc kārtas izdarot pa vienam gājienam. Ar vienu gājienu atļauts veikt taisnu griezienu, kas sākas kādā lapas malā un iet pa rūtiņu malām, pie tam griezuma garumam jābūt naturālam skaitlim. Zaudē tas spēlētājs, pēc kura gājiena lapa tiek sagriezta divos atsevišķos gabalos. Kādām \(n\) un \(m\) vērtībām, pareizi spēlējot, vienmēr var uzvarēt pirmais spēlētājs, un kad - otrais (spēli vienmēr sāk pirmais spēlētājs)?

Atrisināt vienādojumu sistēmu \(\left\{\begin{array}{l}\sin x+\cos y=\frac{3}{2} \mbox{tg}\ z \\ \sin y+\cos x=\frac{3}{2} \mbox{ctg}\ z\end{array}\right.\)

Uz tāfeles uzrakstīta burtu virkne, kas satur tikai burtus \(a\), \(b\) un \(c\). Ar šo virkni atļauts veikt šādus gājienus:

• patvaļīgi mainīt uzrakstīto burtu secību;
• ja virknes galā ir uzrakstīts fragments \(ab\), to drīkst nodzēst;
• fragmentu \(ba\) aizstāt ar fragmentu \(aabbcc\);
• fragmentu \(bbc\) aizstāt ar \(a\)
• izsvītrot jebkurus trīs vienādus pēc kārtas uzrakstītus burtus.

Vai, atkārtojot vairākus šādus gājienus, iespējams iegūt virkni \(aba\), ja sākotnēji ir uzrakstīta virkne (A) \(abba\); (B) \(aabbcabaab\)?

Četrstūris \(ABCD\) ievilkts riņķa līnijā. Tā diagonāles \(AC\) un \(BD\) ir perpendikulāras un krustojas punktā \(E\). Malas \(AB\) viduspunkts ir \(F\). Pierādīt, ka \(EF \perp CD\).

Doti trīs regulāri trijstūri \(OAB\), \(OCD\) un \(OEF\) (virsotnes norādītas pulksteņrādītāja secībā), kuru malu garumi var atšķirties. Punkti \(A, C, E\) neatrodas uz vienas taisnes; punkti \(B, D, F\) arī neatrodas uz vienas taisnes. Pierādīt, ka \(\triangle ACE=\triangle BDF\).

Ap šaurlenķu trijstūri \(ABC\) apvilkta riņķa līnija. Loka \(AB\) (kuram nepieder punkts \(C\)) viduspunkts ir \(M\), bet loka \(AC\) (kuram nepieder punkts \(B\) ) viduspunkts ir \(N\). Nogriežņi \(BN\) un \(CM\) krustojas punktā \(D\). Pierādīt, ka \(AD \perp MN\).

Dots vienādsānu trijstūris \(ABC\), kuram \(AB=AC\) un \(\sphericalangle BAC=100^{\circ}\). Leņķa \(ABC\) bisektrise krusto malu \(AC\) punktā \(D\). Pierādīt, ka \(AD+BD=BC\).

Divas komandas savā starpā izspēlējušas vairākas (vairāk nekā vienu) spēles. Par zaudējumu komanda saņem \(n\) punktus (\(n\)- naturāls skaitlis), bet par uzvaru \(n+3\) punktus. Neizšķirtu rezultātu nav. Pēc spēļu beigām izrādījās, ka vienai komandai ir par vienu uzvaru vairāk nekā otrai. Zināms, ka viena no komandām kopsummā ieguva \(92\) punktus. Cik punktus ieguva otra komanda?

Funkcija \(f\) apmierina šādas prasības:

1. \(f\) ir definēta visiem veseliem nenegatīviem skaitļiem un tās vērtības ir veseli skaitļi;
2. katram \(n\) (\(n\)- vesels nenegatīvs skaitlis) izpildās sakarība

\[f(n) \cdot(f(n+1)-2)=4n^{2}-1\]

Diviem vienādiem kvadrātiem ar malas garumu \(40~\mathrm{cm}\) ir kopīgs centrs. Vai abu kvadrātu kopīgās daļas laukums noteikti ir lielāks nekā (A) \(1250~\mathrm{cm}^{2}\), (B) \(1300~\mathrm{cm}^{2}\)?

Pierādīt, ka nav tādas naturālas \(n\) vērtības, ka \(n^{2}+4n+16\) dalās ar \(36\).

Ar \(d_{i}, i=1,2, \ldots, k\), apzīmēsim visus naturālā skaitļa \(n\) naturālos dalītājus, pie tam \(d_{1} < d_{2} < d_{3} < \ldots < d_{k}\).

Dots, ka \(d_{3}^{2}d_{4}^{2}\left(d_{3}^{2}+d_{4}^{2}\right)=n^{2}\). Atrast visas iespējamās \(n\) vērtības.

Dota Fibonači skaitļu virkne \(x_{1}=x_{2}=1, x_{i+2}=x_{i}+x_{i+1}\).

Pierādīt, ka šajā virknē ir bezgalīgi daudz skaitļu, kas nav naturāla skaitļa kvadrāti.

Kādu lielāko skaitu 1.zīm. attēloto figūru var izgriezt no rūtiņu kvadrāta \(n \times n\), kuram izṇemtas četras stūra rūtiņas: (A) ja \(n=6\) (skat. 2.zīm.), (B) ja \(n=7\) (skat. 3.zīm.). Griezuma līnijām jāiet pa rūtiņu malām, 1.zīm. figūra var būt pagriezta vai apgriezta spoguļattēlā.

Valstī Alfa ir \(n\) pilsētas, \(n \geq 2\). Dažas no šīm pilsētām ir savienotas ar dažām citām ar ceļiem. Ir zināms, ka katrs ceļš savieno tieši divas dažādas pilsētas, katras divas pilsētas savieno ne vairāk kā viens ceļš, turklāt pa izbūvētajiem ceļiem no jebkuras pilsētas ir iespējams aizbraukt uz jebkuru citu vienā vienīgā veidā.

(A) Pierādīt, ka ir vismaz viena pilsēta, no kuras iziet tieši viens ceļš.

(B) Pierādīt, ka pilsētas var sanumurēt ar skaitļiem \(1,2, \ldots, n\) tā, lai jebkuru divu pilsētu, kuras ir savienotas ar ceļu, numuru reizinājums būtu pāra skaitlis.

Dota virkne \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots\), kur \(a_{1}=a_{2}=1\) un visiem \(n > 2\) izpildās

\[a_{n+1}=\left[\frac{2 a_{n}+a_{n-1}}{3}\right]+4\]