Vienādmalu trijstūris ar malas garumu \(4\) sadalīts \(16\) vienādos trijstūros (skat. 2.zīm.). Katrā mazajā trijstūrī ir ierakstīts viens skaitlis, pavisam ierakstīti septiņi trijnieki un deviņi piecinieki.

Pierādi, ka var izvēlēties četrus trijstūrus, kas veido vienādmalu trijstūri ar malas garumu \(2\) un kuros ierakstīto skaitļu summa ir vismaz \(18\).

Vai kvadrātā \(6 \times 6\) rūtiņas var iekrāsot (A) \(7\) rūtiņas; (B) \(6\) rūtiņas tā, lai atlikušajā daļā vairs nevarētu ievietot nevienu 1.zīmējumā attēloto figūru (tā var būt pagriezta vai apgriezta citādi)?

Figūra var tikt novietota tikai tā, lai tās malas ietu pa rūtiņu līnijām.

Parlamentā ir \(2013\) deputāti; katram no viņiem ir domstarpības ar ne vairāk kā \(d\) (\(0 \leq d \leq 2012\)) citiem deputātiem. Domstarpības ir abpusējas: ja \(A\) ir domstarpības ar \(B\), tad arī \(B\) ir domstarpības ar \(A\). Pierādīt, ka deputātus var sadalīt \(d+1\) komisijā tā, lai nekādiem diviem vienas komisijas locekļiem nebūtu domstarpību savā starpā.

Vai eksistē tāds naturāls skaitlis, kura kvadrāta pēdējie \(9\) cipari ir \(987654321\)?

Nogrieznis \(BP\) ir trijstūra \(ABC\) bisektrise, punkti \(N\) un \(M\) ir attiecīgi malu \(AB\) un \(AC\) tādi iekšēji punkti, ka \(AN=PC\) un \(AM=BC\). Taisnes \(BP\) un \(MN\) krustojas punktā \(X\). Pierādīt, ka \(\triangle NBX \sim \triangle PBC\).

Zināms, ka \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{10}\) ir dažādi naturāli skaitļi tādi, ka \(a_{1} > \sqrt{a_{2}}, a_{2} > \sqrt{a_{3}}\), \(\ldots\), \(a_{9} > \sqrt{a_{10}}\) un \(a_{10} > \sqrt{a_{1}}\). Aprēķināt mazāko iespējamo summas \(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{10}\) vērtību.

Dots regulārs sešstūris ar malas garumu \(1\). Uz katras malas ir patvaļīgi izvēlēts viens punkts (skat. 1.zīm.). Pierādīt, ka vismaz viena iekrāsotā trijstūra laukums nepārsniedz \(\frac{\sqrt{3}}{16}\).

Atrodi tādus četrus dažādus naturālus skaitļus \(a\), \(b, c\), \(d\), ka \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=1\).

Profesora Cipariņa olimpiādē bija \(3\) uzdevumi. Tajā piedalījās \(100\) skolēni. Pierādīt, ka atradīsies vismaz \(13\) skolēni, kas izrēķināja vienus un tos pašus uzdevumus (vai arī neizrēķināja nevienu uzdevumu).

Katrs skolēns katru uzdevumu vai nu izrēķināja vai neizrēķināja, daļēji risinājumi netika iesniegti.

Vai var atrast \(7\) naturālus skaitļus (ne obligāti dažādus), kuru summa vienāda ar to reizinājumu?

Kvadrātā \(3 \times 3\) rūtiņas ieraksti deviņus dažādus naturālus skaitļus tā, lai katrā rindiņā ierakstīto skaitļu reizinājums un katrā kolonnā ierakstīto skaitļu reizinājums būtu viens un tas pats.

Caur paralelograma \(ABCD\) virsotnēm \(B\) un \(D\) ir novilkta riņķa līnija, kas krusto malas \(AB, DA, BC\) un \(CD\) attiecīgi to iekšējos punktos \(P, Q, R\) un \(S\). Pierādīt, ka \(PQ \| RS\)

Uz tāfeles rindā uzrakstīti naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(10\). Roberts izvēlas jebkurus divus no tiem, nodzēš tos un rindas galā uzraksta šo skaitļu starpību (ja skaitļi ir dažādi, starpību aprēķina, no lielākā skaitļa atņemot mazāko). Šo darbību atkārto, kamēr uz tāfeles paliek viens skaitlis.

(A) Vai iespējams, ka šis skaitlis ir \(1\)?
(B) Vai iespējams, ka šis skaitlis ir \(0\)?

Taisnstūra malu garumi ir veseli skaitļi, bet tā perimetrs un laukums izsakās ar vienu un to pašu skaitli. Atrast visus šādus taisnstūrus.

Parādi, kā kvadrātu var sadalīt četros vienādos piecstūros.

Vai eksistē tāda trijstūra piramīda, kurai katras skaldnes perimetrs ir \(2013\) un kurai nav vienāda garuma šķautņu?

Vai pa riņķi var uzrakstīt \(13\) naturālus skaitļus tā, lai jebkuru blakus esošu skaitļu starpība būtu \(6, 10, 14\) vai \(18\)?

Rindā kaut kādā secībā stāv \(10\) zēni un \(10\) meitenes. Divus bērnus var mainīt vietām, ja starp tiem stāv ne vairāk kā \(9\) citi bērni.

(A) Pierādi, ka ar \(10\) maiņām noteikti pietiek, lai panāktu, ka vispirms stāv \(10\) zēni un pēc tam \(10\) meitenes.
(B) Pierādi, ka sākuma situācija var būt tāda, ka ar \(9\) maiņām nevar panākt, ka vispirms stāv \(10\) zēni un pēc tam \(10\) meitenes.

Plaknē doti \(n \geq 3\) patvaļīgi izvietoti punkti. Zināms, ka nekādi \(3\) no tiem neatrodas uz vienas taisnes. Pierādīt, ka eksistē tāds \(n\)-stūris (iespējams, ieliekts), kura virsotnes atrodas šajos punktos. Daudzstūra malas nedrīkst krustoties.

Vai plaknē var uzzīmēt

(A) \(12\)-stūri,
(B) \(13\)-stūri

un riņķa līniju, kas krusto uzzīmētā daudzstūra katru malu tieši vienā punktā? (Riņķa līnija nepieskaras daudzstūra malām un neiet caur tā virsotnēm.)

Trijstūrī \(ABC\) novilkts augstums \(BH\), bisektrise \(BL\) un mediāna \(BM\). Zināms, ka punkts \(L\) atrodas starp punktiem \(M\) un \(H\), turklāt \(\sphericalangle MBL=\sphericalangle LBH\), \(\sphericalangle CBH=\sphericalangle BAH\) un \(BM=BC\). Nosaki trijstūra \(ABC\) leņķu lielumus!

Polinoms \(P(x)\) ar veseliem koeficientiem četrām veselām \(x\) vērtībām pieņem vērtību \(2000\). Pierādīt, ka nav tādas veselas \(x\) vērtības, pie kuras dotais polinoms pieņem vērtību \(2013\).

Ansītis aprēķināja skaitļu \(2^{2013}\) un \(5^{2013}\) vērtības un iegūtos skaitļus uzrakstīja vienu aiz otra. Cik cipari uzrakstīti?

Atrisināt veselos skaitļos vienādojumu \((x-y)(x+y)=x\).

Dotas sešas vienāda izskata monētas un sviras svari bez atsvariem. Četras no monētām sver \(10\) gramus katra, pārējās divas sver \(9\) gramus katra. Kā ar divām svēršanām atrast vismaz vienu monētu, kas sver \(9\) gramus?

Piecstūra katrā virsotnē ieraksti vienu naturālu skaitli tā, lai katras malas galapunktos ierakstīto skaitļu lielākais kopīgais dalītājs būtu \(1\), bet katras diagonāles galapunktos ierakstīto skaitļu lielākais kopīgais dalītājs būtu lielāks nekā \(1\).

Atrast nenulles ciparus (ne obligāti dažādus): (A) \(p, q\) un \(r\) tādus, ka skaitlis \(\overline{pqr}\) dalās ar \(\overline{qr}\) un \(\overline{qr}\) dalās ar \(r\);
(B) \(k, l, m\) un \(n\) tādus, ka skaitlis \(\overline{klmn}\) dalās ar \(\overline{lmn}, \overline{lmn}\) dalās ar \(\overline{mn}\) un \(\overline{mn}\) dalās ar \(n\);
(C) \(a, b, c, d\) un \(e\) tādus, ka skaitlis \(\overline{abcde}\) dalās ar \(\overline{bcde}, \overline{bcde}\) dalās ar \(\overline{cde}, \overline{cde}\) dalās ar \(\overline{de}\) un \(\overline{de}\) dalās ar \(e\).

(Pieraksts \(\overline{xyzt}\) nozīmē, ka četrciparu skaitlī ir \(x\) tūkstoši, \(y\) simti, \(z\) desmiti un \(t\) vieni.)

Dots, ka \(n>1\) ir tāds naturāls skaitlis, kas, dalot ar \(7\), dod atlikumu \(1\). Pierādīt, ka skaitļa \(n^{2}+3n+3\) visi pirmreizinātāji ir mazāki nekā \(n^{2}\).

Naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(18\) sadalīti pa pāriem tā, ka katrā pārī esošo skaitļu summa ir naturāla skaitļa kvadrāts. Ar ko pārī apvienots skaitlis \(1\)?

Piezīme. Par skaitļa kvadrātu sauc skaitļa reizinājumu pašam ar sevi.

Skaitli \(8999999\) uzraksti kā divu veselu skaitļu reizinājumu tā, lai katrs no reizinātājiem ir lielāks nekā \(1\).

Zināms, ka \(a\) un \(b\) ir divi dažādi naturāli skaitļi. Pierādīt, ka

\[\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} > \frac{1}{4(a+b)}.\]

Cik ir tādu četrciparu skaitļu, kuru pierakstā ir vismaz viens pāra cipars?

Doti \(13\) punkti, daži no šiem punktiem savienoti ar nogriežņiem. Vai var būt tā, ka no katra punkta iziet tieši \(3\) vai \(5\) nogriežņi?

Zināms, ka \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2013}\) ir tādi naturāli skaitļi, ka \(a_{1} > \sqrt{a_{2}}, a_{2} > \sqrt{a_{3}}, \ldots\), \(a_{2012} > \sqrt{a_{2013}}\) un \(a_{2013} > \sqrt{a_{1}}\). Aprēķināt mazāko iespējamo summas \(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{2013}\) vērtību.

Izveido sešciparu skaitli, kas dalās ar \(7\) un kura pierakstā katrs no cipariem \(1, 2, 3, 4, 5, 8\) izmantots tieši vienu reizi.

Doti \(7\) dažādi naturāli skaitļi, kuri nepārsniedz \(21\). Pierādīt, ka no tiem var izvēlēties divus skaitļu pārus, kuru starpības ir vienādas. (Skaitļu pāriem var būt arī kopīgs skaitlis, starpību aprēķina no lielākā skaitļa atņemot mazāko.)

Regulāra trijstūra iekšpusē patvaļīgi izvēlēts punkts \(K\). Pierādīt, ka attālumu summa no punkta \(K\) līdz trijstūra malām nav atkarīga no punkta \(K\) izvēles.

Vai eksistē tāds (A) \(11\)-stūris; (B) \(12\)-stūris, kuram \(8\) virsotnes atrodas uz vienas taisnes?

Trijstūrim \(ABC\) apvilktās riņķa līnijas un ievilktās riņķa līnijas centri ir simetriski attiecībā pret vienu no trijstūra \(ABC\) malām. Aprēķināt trijstūra \(ABC\) leņķus.

Cik starp pirmajiem \(2013\) naturālajiem skaitļiem ir tādu skaitļu \(x\), ka skaitlis \(x(x+1)(x+2)\) dalās ar \(111\)?