Pierādīt, ka nav tāda naturāla skaitļa \(n\), ka skaitlis \(n^{2}-3n-1\) dalās ar \(169\).

Doti dažādi nepāra naturāli skaitļi \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\). Neviens no tiem nedalās ne ar vienu pirmskaitli, kas lielāks kā \(5\). Pierādīt, ka

\[\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}<2.\]

Pierādīt, ka skaitlis \(1234567891011\ldots175176\) (pēc kārtas uzrakstīti visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(176\)) nav naturāla skaitļa kvadrāts. (Skaitļa kvadrāts ir skaitļa reizinājums pašam ar sevi.)

Dota kvadrātisku rūtiņu plakne, katras rūtiņas malas garums ir \(1\). Pierādīt, ka eksistē trijstūris, kura virsotnes atrodas šīs plaknes rūtiņu virsotnēs un jebkuru divu tā malu garumi atšķiras ne vairāk kā par \(\frac{1}{2013 \cdot \sqrt{P}}\), kur \(P\) ir šī trijstūra perimetrs.

Uz tāfeles uzrakstīti desmit skaitļi

\[\begin{array}{llllllllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \end{array}\]

Pamato, ka neatkarīgi no secības, kādā Alfons izpilda darbības, beigās tiek iegūts viens un tas pats skaitlis. Kāds tas ir?

Dota trapece, kuras pamatu malu garumi ir \(3\) un \(13\). Pierādīt, ka to nevar sadalīt piecos vienlielos trijstūros.

(Figūras sauc par vienlielām, ja tām ir vienādi laukumi.)

Sagriezt 3.zīmējumā attēloto figūru \(20\) vienādās mazākās figūrās (figūras var būt pagrieztas vai apgrieztas otrādi).

Vai eksistē regulārs daudzstūris, kuram vienas diagonāles garums ir vienāds ar divu citu diagonāļu garumu summu?

Kādā valstī ir \(2013\) pilsētas, no katras uz katru var aizlidot ar lidmašīnu. Dažus no šiem reisiem apkalpo aviokompānija \(A\), pārējos - aviokompānija \(B\) (ir iespējams, ka no pilsētas \(X\) uz pilsētu \(Y\) lido aviokompānijas \(A\) lidmašīna, bet no \(Y\) uz \(X\) aviokompānijas \(B\) lidmašīna).

Pierādīt, ka aviokompāniju atbildību par reisiem iespējams saplānot tā, ka ceļotājs, izlidojot no jebkuras pilsētas \(Z\), pa ceļam apmeklējot vienu vai vairākas pilsētas un pēc tam atgriežoties pilsētā \(Z\), noteikti būs lidojis ar abu aviokompāniju lidmašīnām, neatkarīgi no tā, kādu maršrutu viņš būs izvēlējies un kura ir sākotnējā pilsēta \(Z\).

Vai kvadrātā \(5 \times 5\) rūtiņas var iekrāsot (A) \(6\) rūtiņas; (B) \(5\) rūtiņas tā, lai atlikušajā daļā nevarētu ievietot nevienu 4.zīmējumā redzamo figūru (tā var būt pagriezta vai apgāzta otrādi)?

Vai skaitļus no \(100\) līdz \(200\) var sadalīt divās grupās tā, ka skaitļu reizinājumi abās grupās ir vienādi?

Kādas valodas alfabētā ir \(i\) patskaņi (\(i \geq 2\)) un \(j\) līdzskaņi (\(j \geq 2\)). Šajā valodā par vārdu sauc jebkuru galīgu burtu (patskaņu un līdzskaņu) virkni, kas satur vismaz vienu burtu un kurā nekādi divi patskaņi neparādās pēc kārtas un pēc kārtas uzrakstīti līdzskaņi ir ne vairāk kā divi (piemēram, ja " \(A\) " ir patskanis, bet " \(B\) " līdzskanis, tad, piemēram, " \(ABBA\) " ir vārds, turpretī " \(BAAB\) " un " \(ABBBA\) " nav vārdi).

Ar \(S(n)\) apzīmēsim visu to vārdu skaitu, kuri sastāv no \(n\) burtiem, \(n \geq 1\).

Pierādīt, ka visiem naturāliem skaitļiem \(n\) ir spēkā vienādība

\[S(n+3)=i \cdot j \cdot S(n+1)+i \cdot j^{2} \cdot S(n)\]

Dota skaitļu virkne \(x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots\), kurā \(x_{0}>0\) un \(x_{n+1}=x_{n}+\frac{2}{x_{n}}\) visiem \(n \geq 0\). Pierādīt, ka \(x_{100}>20\).

Kuba katra skaldne sadalīta četros vienādos kvadrātos. Vai šos kvadrātus var nokrāsot (A) divās; (B) trīs krāsās tā, ka kvadrāti, kam ir kopīga mala, ir nokrāsoti dažādās krāsās? Katrs kvadrāts pilnībā ir jākrāso vienā krāsā. Atbildi pamatot!

No pirmajiem \(100\) naturālajiem skaitļiem izvēlēts \(51\) skaitlis. Pierādīt, ka no tiem var izvēlēties divus, no kuriem viens dalās ar otru.

Dots, ka \(x_{1}\) ir vienādojuma \(x^{2}+px+q=0\) sakne, bet \(x_{2}\) ir vienādojuma \(-x^{2}+p x+q=0\) sakne. Pierādīt, ka vienādojumam \(\frac{1}{3} x^{2}+px+q=0\) noteikti ir sakne \(x_{3}\), kas atrodas starp \(x_{1}\) un \(x_{2}\) (t. i., \(x_{1} \leq x_{3} \leq x_{2}\) vai \(x_{2} \leq x_{3} \leq x_{1}\)).

Naturālā divciparu skaitlī neviens no cipariem nav \(0\). Pierādīt, ka, dalot šo skaitli ar tā ciparu reizinājumu, dalījums ir vismaz \(\frac{11}{9}\).

Kvadrātā ar izmēriem \(4 \times 4\) rūtiņas katra rūtiņu virsotne nokrāsota vienā no divām krāsām. Pierādīt, ka noteikti var atrast trīs punktus, kas nokrāsoti vienā krāsā un atrodas vienādsānu taisnleņķa trijstūra virsotnēs.

Rūķītis ir iedomājies skaitļus \(x_{1}, x_{2}, x_{3}\) un \(x_{4}\), katrs no tiem ir vai nu \(0\), vai \(1\). Ja rūķītim pajautā: "Kāds ir \(i\)-tais skaitlis?" (\(i=1,2,3\) vai \(4\) pēc izvēles), tad viņš pasaka \(x_{i}\) vērtību.

Pierādīt, ka ar \(3\) jautājumiem pietiek, lai uzzinātu, vai virkne \(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4}\) ir monotona.

Skaitļu virkne \(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4}\) ir monotona, ja tā ir nedilstoša vai neaugoša (t. i., \(x_{1} \leq x_{2} \leq x_{3} \leq x_{4}\) vai \(x_{1} \geq x_{2} \geq x_{3} \geq x_{4}\) ).

Vai regulāru sešstūri var sadalīt (A) deviņos; (B) astoņos vienādos daudzstūros?

Dots trijstūris \(ABC\) un punkts \(P\) tā iekšpusē. Pierādi, ka attālumu summa no punkta \(P\) līdz dotā trijstūra virsotnēm ir lielāka nekā puse no trijstūra perimetra.

Atrisināt reālos skaitļos vienādojumu \(\lg x \cdot \lg (4-x)=\frac{1}{4}\).

Doti seši nogriežņi ar garumiem \(1~\mathrm{cm}\), \(3~\mathrm{cm}\), \(5~\mathrm{cm}\), \(7~\mathrm{cm}\), \(9~\mathrm{cm}\), \(11~\mathrm{cm}\). Cik dažādos veidos no tiem var izvēlēties trīs nogriežņus tā, ka no tiem var izveidot trijstūri (katra trijstūra mala ir viens vesels nogrieznis)?

1.zīmējumā katrā aplītī ierakstīt vienu ciparu, katrā aplītī - citu, tā, lai katros trīs aplīšos, kas atrodas uz vienas taisnes, ierakstīto skaitļu summa būtu viena un tā pati.

Cik reizes diennaktī sakrīt pulksteņa stundu un minūšu rādītāji? (Plkst. 00:00 un 24:00 ieskaitīt vienu reizi.) Atbildi pamatot!

Pierādīt, ka neeksistē tādi naturāli skaitļi \(x, y, z\), ka izpildās vienādība \(6^{x}+13^{y}=29^{z}\).

Doti četri dažādi cipari, neviens no kuriem nav \(0\). Visu divciparu skaitļu, kurus var izveidot no šiem cipariem, summa ir \(484\). Atrast dotos četrus ciparus.

Par \(n\)-heksu sauksim plaknes figūru, kas izveidota no \(n\) regulāriem sešstūriem tā, ka katram sešstūrim ir kopīga mala ar vismaz vienu citu sešstūri.

Kādam mazākajam \(n(n \geq 2)\) eksistē tāds \(n\)-hekss, ar kuriem nevar pārklāt 5.zīm. attēloto figūru (tā sastāv no regulāriem sešstūriem ar caurumu centrā)?

Trijstūrī \(ABC\) punkti \(M,\ N\) un \(K\) ir attiecīgi malu \(AB,\ BC\) un \(CA\) viduspunkti. Ir novilktas trīs riņķa līnijas: caur punktiem \(K,\ A,\ M\); caur punktiem \(M,\ B,\ N\); caur punktiem \(N,\ C,\ K\). Pierādīt, ka visas novilktās riņķa līnijas krustojas vienā punktā.

Dots izliekts četrstūris. Uzzīmēti četri riņķi, kuru diametri ir četrstūra malas. Pierādīt, ka šie riņķi pilnībā pārklāj doto četrstūri.

Atrast visus naturālos skaitļus, kas nepārsniedz \(1000000\) un kuri, nosvītrojot to pirmo ciparu, samazinās \(36\) reizes.

No 2.zīmējumā redzamajām figūrām salikt taisnstūri ar laukumu \(40\) rūtiņas. Figūras nedrīkst pārklāties un katra veida figūra jāizmanto vismaz vienu reizi. (Figūras var būt pagrieztas vai apgrieztas otrādi.)

Vai var atrast tādus divus viens otram sekojošus naturālus skaitļus, viens no kuriem dalās ar \(3\) un kuru

(A) ciparu summas atšķiras par \(3\);

(B) ciparu reizinājumi atšķiras par \(3\)?

Una un Ivo, gājienus izdarot pēc kārtas, kvadrāta ar izmēriem \(6 \times 6\) rūtiņas trīs tukšās vienas rindas vai kolonnas blakus rūtiņās ieraksta savu vārdu, katru burtu rakstot citā rūtiņā. Uzvar tas spēlētājs, kurš pēdējais ieraksta savu vārdu. Una izdara pirmo gājienu. Kurš spēlētājs vienmēr var panākt savu uzvaru?

Doti tādi reāli skaitļi \(t\) un \(a\), ka \(t^{2}-t \cdot \sqrt{t}+a=0\). Pierādīt, ka \(t \geq 4 a\).

Uz galda virsmas, kurai ir taisnstūra forma, izvietoti vairāki vienādi kvadrātveida papīra gabaliņi, kuru malas ir paralēlas galda malām (kvadrātiņi var arī pārklāties). Pierādīt, ka galdā var iedurt dažas adatas tā, ka katrs papīra gabaliņš būs piesprausts pie galda tieši ar vienu adatu.

\(24\)-stāvu mājā ir lifts, kuram ir divas pogas. Nospiežot vienu pogu, tas paceļas (ja iespējams) \(17\) stāvus uz augšu, nospiežot otru nolaižas \(8\) stāvus uz leju (ja iespējams). Noskaidro, no kura stāva ar šo liftu var nokļūt uz jebkuru citu stāvu šajā mājā. (Lifts nevar uzbraukt augstāk par \(24.\) stāvu un zemāk par \(1.\) stāvu.)

Trijstūrī \(ABC\) nogrieznis \(CD\) ir bisektrise. Caur punktu \(C\) novilkta riņķa līnija, kas pieskaras malai \(AB\) punktā \(D\). Tā krusto malas \(AC\) un \(BC\) attiecīgi punktos \(P\) un \(Q\). Pierādīt, ka \(AB \parallel PQ\).

Una un Ivo, gājienus izdarot pēc kārtas, kvadrāta ar izmēriem \(5 \times 5\) rūtiņas trīs tukšās vienas rindas vai kolonnas blakus rūtiņās ieraksta savu vārdu, katru burtu rakstot citā rūtiņā. Uzvar tas spēlētājs, kurš pēdējais ieraksta savu vārdu. Una izdara pirmo gājienu. Kurš spēlētājs vienmēr var panākt savu uzvaru?

Vai pa riņķi var uzrakstīt \(2013\) naturālus skaitļus tā, lai jebkuru divu blakus esošu skaitļu attiecība būtu \(2,\ 3,\ 12\) vai \(18\)?