Naturāla skaitļa \(N\) decimālajā pierakstā izmantots tikai cipars \(6\). Pierādīt, ka skaitļa \(N^{2}\) decimālajā pierakstā nav cipara \(0\).

Kādām \(a\) vērtībām vienādojumu sistēmai

\[\left\{\begin{array}{l} x+y=2 \\ x^{2}+y^{2}=a \\ x^{3}+y^{3}=a+2 \end{array}\right.\]

ir atrisinājums reālos skaitļos?

Trijstūra \(ABC\) katra mala sadalīta septiņās vienādās daļās (skat. 3.zīm.). Pierādīt, ka \(S_{A_{1}B_{1}C_{1}}+S_{A_{2}B_{2}C_{2}}>S_{ABC}\).

Kvadrātvienādojuma \(x^{2}+p_{1}x+q_{1}=0\) saknes ir \(a\) un \(b\), kvadrātvienādojuma \(x^{2}+p_{2}x+q_{2}=0\) saknes ir \(b\) un \(c\), bet kvadrātvienādojuma \(x^{2}+p_{3}x+q_{3}=0\) saknes ir \(a\) un \(c\). Zināms, ka \(q_{1} \leq q_{2} \leq q_{3} \leq 0\). Kādas ir iespējamās \(q_{2}\) vērtības?

Pierādīt, ka nav iespējams izveidot trijstūri, kura augstumu garumi ir \(4~\mathrm{cm}\), \(7~\mathrm{cm}\) un \(10~\mathrm{cm}\).

Taisne, kas iet caur trijstūra mediānu krustpunktu, dala trijstūri divās daļās. Kāda ir maksimālā šo daļu laukumu attiecība?

Riņķa ar diametru \(1\) iekšpusē uzzīmēti vairāki riņķi, kuru diametru summa ir lielāka nekā \(8\). Pierādīt, ka var novilkt taisni, kas krusto vismaz \(9\) uzzīmētos riņķus.

\(3 \times 3\) rūtiņu tabulā katrā no rūtiņām ierakstīts pa atšķsirīgam naturālam skaitlim. Ja rūtiņā ierakstītais skaitlis ir lielākais savā rindā, savā kolonnā vai diagonālē, kurā ir vismaz divas rūtiņas, tad šī rūtiņa tiek iekrāsota. Cik rūtiņas tabulā var būt iekrāsotas?

Divām naturālu skaitļu virknēm \(\left\{a_{i}\right\}\) un \(\left\{b_{i}\right\}\) katram \(i \geq 1\) ir spēkā sakarības:

\[a_{b_{i}}=b_{a_{i}}\;\;\mbox{un}\;\;\left|a_{i}-b_{i}\right|>2012.\]

Atrast vienu šādu virkņu piemēru.

Trijstūra \(ABC\) iekšpusē izvēlēts punkts \(E\) tā, ka \(AB^{2}-BE^{2}+EC^{2}=AC^{2}\). Pierādīt, ka \(AE \perp BC\)!

Divi zēni pēc kārtas griež apaļu kūku, katru reizi nogriežot pa vienam gabalam, kura virspuse ir dotās kūkas virspuses sektora formā, pie tam gabala virspuses laukumam jābūt ne mazākam kā \(\frac{1}{100}\) un ne lielākam kā \(\frac{1}{2}\) no sākotnēja kūkas virspuses laukuma (skat. 5.zīm.).

Zaudē tas spēlētājs, kurš vairs nevar nogriezt nevienu atļautā lieluma gabalu. Kurš no zēniem uzvarēs, pareizi spēlējot?

Trijstūra \(ABC\) leņķa \(ACB\) bisektrise un leņķa \(ABC\) papildleņķa bisektrise krustojas punktā \(D\). Pierādīt, ka trijstūrim \(BCD\) apvilktās riņķa līnijas centrs atrodas uz trijstūrim \(ABC\) apvilktās riņķa līnijas.

Trijās no piecstūra virsotnēm atrodas kauliņi \(A\), \(B\), \(C\). Atļauts pārbīdīt kauliņu pa piecstūra diagonāli uz citu virsotni, ja tā ir brīva. Vai, atkārtoti pārbīdot šos kauliņus, var panākt, lai kauliņš \(A\) atrastos savā vietā, bet kauliņi \(B\) un \(C\) būtu samainīušies vietām?

Kādu lielāko skaitu 1.zīm. attēloto figūru var izgriezt no 2.zīm. attēlotās figūras? Griezuma līnijām jāiet pa rūtiņu malām.

Dota naturālu skaitļu virkne \(\left\{a_{i}\right\}\), kur \(a_{1}=5\) un katram \(n>1\ a_{n}=a_{1} a_{2} \ldots a_{n-1}+4\). Pierādīt, ka visiem \(n \geq 1\) ir spēkā sakarība \(a_{n}-\sqrt{a_{n+1}}=2\).

Divi spēlētāji uz \(N \times N\) rūtiņas liela laukuma spēlē sekojošu spēli. Spēlētāji gājienus izdara pēc kārtas, katrā gājienā novietojot šaha zirdziņu uz pagaidām neapdraudēta lauciņa (visu zirdziņu krāsa ir vienāda). Spēlētājs, kurš nevar izdarīt kārtējo gājienu, zaudē. Kurš no spēlētājiem, pareizi spēlējot, uzvar, ja (A) \(N=12\), (B) \(N=21\)?

(Ja šaha zirdziņš atrodas rūtiņā \(A\), tad tas apdraud visas ar \(\ast\) apzīmētās rūtiņas, skat. 4.zīm.)

Kvadrātā ar izmēriem \(N \times N\) rūtiņas dažas rūtiņas ir nokrāsotas tā, ka katrai nokrāsotai rūtiņai tieši trīs kaimiņu rūtiņas ir nenokrāsotas, bet katrai nenokrāsotai rūtiņai ir tieši viena nokrāsota kaimiņu rūtiņa. Vai šāds krāsojums ir iespējams, ja (A) \(N=6\), (B) \(N=8\)?

Rūtiņas sauc par kaimiņu rūtiņām, ja tām ir kopīga mala.

(A) Vai piecu pēc kārtas ņemtu naturālu skaitļu reizinājums var būt skaitlis \(20112012\)?

(B) Vai četru pēc kārtas ņemtu naturālu skaitļu reizinājums var būt skaitlis \(20112012\)?

Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu

\[n = \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{4} \right\rfloor + \ldots + \left\lfloor \frac{n}{n+2012} \right\rfloor.\]

Pierādīt, ka eksistē bezgalīgi daudz naturālu skaitļu \(a\), kuriem skaitlis \(n^{4}+a\) ir salikts skaitlis visiem naturāliem skaitļiem \(n>1\).