Apskatām visas funkcijas \(y=ax^{2}-2x+b\), kur \(a\) un \(b\) - reāli skaitļi un \(a+b=2012\). Pierādīt, ka visu šādu funkciju grafikiem ir divi kopīgi punkti.

Dota tabula ar izmēriem \(n \times n\) rūtiņas, katrā tās rūtiņā ierakstīts vesels skaitlis. Tabulas rindas un kolonnas pēc kārtas sanumurētas ar skaitļiem no \(1\) līdz \(n\), sākot no augšējās rindas un kreisās kolonnas (skat. 1.zīm.). Zināms, ka visiem \(i\) izpildās sakarība: \(i\)-tajā rindā ierakstīto skaitļu summa ir vienāda ar \(i\)-tajā kolonnā ierakstīto skaitļu summu.

Atrast visus tādus \(n\), kuriem visām šādām tabulām izpildās sekojoša īpašība:

\(i\)-tās rindas \(j\)-tajā kolonnā ierakstītais skaitlis ir vienāds ar \(i\)-tās kolonnas \(j\)-tajā rindā ierakstīto skaitli (t.i., tabula ir simetriska attiecībā pret galveno diagonāli, skat. 1.zīm. iekrāsoto diagonāli).

Cik rūtiņas liels ir kvadrāta \(ABCD\) laukums (skat. 1.zīm.)?

Vienā riņķa līnijā ievilkts regulārs deviņstūris un regulārs trijstūris. Kas ir lielāks: dotā deviņstūra malu kvadrātu summa vai dotā trijstūra malu kvadrātu summa?

Pierādīt, ka \(1004041\) nav pirmskaitlis.

Vai eksistē tāds naturāls skaitlis \(m\), kura ciparu reizinājums ir vienāds ar simetrisku \(8\)-ciparu skaitli?

(Par simetrisku sauc skaitli, kas vienādi lasāms no abiem galiem.)

Dots naturāls skaitlis \(n \geq 3\). Aplūkojam visus naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(n-1\) ieskaitot, kas ir savstarpēji pirmskaitļi ar skaitli \(n\). Pierādīt, ka šo skaitļu summa dalās ar \(n\).

Regulārā \(17\)-stūrī \(A_{1}A_{2} \ldots A_{17}\) atzīmētas četras virsotnes \(A_{i}, A_{j}, A_{k}, A_{l}\) (\(i < j < k < l\)). No pārējām virsotnēm ir jāizvēlas četras virsotnes (apzīmēsim tās ar \(B\), \(C\), \(D\) un \(E\)) tā, lai \(B\) būtu starp \(A_{i}\) un \(A_{j},\ C\) būtu starp \(A_{j}\) un \(A_{k}\), \(D\) būtu starp \(A_{k}\) un \(A_{l}\), \(E\) būtu starp \(A_{l}\) un \(A_{i}\). Kādām \(i, j, k, l\) vērtībām punktu četrinieku (\(B,\ C,\ D,\ E\)) var izvēlēties visvairāk veidos?

Ar naturālu skaitli var veikt divu veidu darbības:

1. reizināt ar \(3\),
2. nodzēst pēdējo ciparu.

Parādīt, kā no skaitļa \(5\) var iegūt skaitli \(21\), vairakkārt pielietojot tikai šīs darbības.

Uzzīmēt figūru, kuru var sadalīt vienādos "stūrīšos" (skat. 4.zīm.) tieši divos dažādos veidos. "Stūrīši" var būt pagriezti arī citādāk. (Divi sadalījumi, kas iegūstami viens no otra pagrieziena rezultātā vai ir viens otra spoguļattēls, uzskatāmi par vienādiem.)

Atrast augošu aritmētisku progresiju, kuras visi elementi ir naturāli skaitļi un kurai piemīt īpašība: neviens tās elements nav naturāla skaitļa \(k\)-tā pakāpe jebkuram naturālam \(k \geq 2\).

Pa apli uzrakstīti septiņi dažādi skaitļi, nekādu divu blakus uzrakstīto skaitļu reizinājums nav pozitīvs. Aplūkojam visus triju pēc kārtas uzrakstītu skaitļu reizinājumus. Cik no šiem septiņiem reizinājumiem ir pozitīvi?

Ir aprēķinātas skaitļu \(2^{2012}\) un \(5^{2012}\) vērtības un iegūtie skaitļi uzrakstīti viens aiz otra. Cik cipari uzrakstīti?

Pierādīt, ka neeksistē daudzskaldnis, kuram ir nepāra skaits skaldņu un katrai skaldnei ir nepāra skaits virsotņu.

Atrisināt vienādojumu sistēmu reālos skaitļos:

\[\left\{\begin{array}{l} 2x+xy+2y=8 \\ 2y+yz+2z=20 \\ 2z+zx+2x=14 \end{array}\right.\]

Uz trijstūra \(ABC\) malas \(AC\) izvēlēts punkts \(K\). Nogrieznis \(BK\) sadala trijstūri \(ABC\) divos trijstūros. Visi trīs trijstūri (\(\triangle ABC\) un abi dalījumā iegūtie trijstūri) ir līdzīgi. Pierādīt, ka \(\triangle ABC\) ir taisnleņķa trijstūris.

Vai plaknē var uzzīmēt

(A) sešstūri,
(B) septiņstūri

un riņķa līniju, kas krusto uzzīmētā daudzstūra katru malu tieši vienā punktā? (Riņķa līnija nepieskaras daudzstūra malām un neiet caur tā virsotnēm.)

Skaitli \(3999991\) uzrakstīt kā divu veselu skaitļu reizinājumu tā, lai katrs no reizinātājiem ir lielāks nekā \(1\).

Vienādmalu trijstūris ar malas garumu \(4\) sadalīts \(16\) vienādos trijstūros (skat. 3.zīm.).

Katrā mazajā trijstūrī ir ierakstīts viens skaitlis, pavisam ierakstīti septiņi trijnieki un deviņi piecinieki.

Pierādīt, ka var izvēlēties četrus trijstūrus, kas veido vienādmalu trijstūri ar malas garumu \(2\) un kuros ierakstīto skaitļu summa ir vismaz \(18\).

Atrast divus vienu otram sekojošus naturālus skaitļus, kuriem abiem ciparu summa dalās ar \(5\).

Doti seši pēc kārtas sekojoši naturāli skaitļi. Pierādīt, ka var atrast tādu pirmskaitli \(p\), ka tieši viens no dotajiem skaitļiem dalās ar \(p\).

Katrs no trīs rūķīšiem ir iedomājies vienu no skaitļiem \(1,\ 2\) vai \(3\), katrs - citu skaitli. Katrs rūķītis zina, kādus skaitļus ir iedomājušies pārējie rūķīši.

Kā var noskaidrot, kuru skaitli katrs rūķītis ir iedomājies, ja katram rūķītim var uzdot tieši vienu jautājumu, uz kuru viņš var atbildēt tikai ar "jā" vai "nē"? Katram rūķītim drīkst jautāt arī par citu rūķīšu iedomātajiem skaitļiem.

Skaitlis \(a\) ir vienādojuma \(x^{3}-2x^{2}+3x-4=0\) sakne. Pierādīt, ka \(a>-\frac{1}{2}\).

Nogrieznis \(BP\) ir trijstūra \(ABC\) bisektrise, punkti \(N\) un \(M\) ir attiecīgi malu \(AB\) un \(AC\) tādi iekšēji punkti, ka \(AN=PC\) un \(AM=BC\). Taisnes \(BP\) un \(MN\) krustojas punktā \(X\). Pierādīt, ka \(\triangle NBX \sim \triangle PBC\).

Uzzīmēt slēgtu lauztu līniju ar \(7\) posmiem, kura sadala plakni daudzstūros, starp kuriem ir astoņstūris.

Vai naturāla skaitļa ciparu reizinājums var būt skaitlis \(\overline{aabbcc}\)? (Pieraksts \(\overline{kmn}\) nozīmē, ka skaitlī ir \(k\) simti, \(m\) desmiti un \(n\) vieni.)

Vai piecstūra virsotnēs var ierakstīt piecus dažādus naturālus skaitļus, lai jebkuru divu blakus stāvošu skaitļu summa būtu pirmskaitlis?

Visi piecciparu naturālie skaitļi, kuru pierakstā katrs no cipariem \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\) izmantots tieši vienu reizi, ir uzrakstīti virknē augošā secībā: \(12345,\ 12354,\ 12435,\ \ldots\). Kurš pēc kārtas šajā virknē ir skaitlis \(53421\)?

Ar naturālu skaitli var veikt divu veidu operācijas:

1. reizināt ar \(7\),
2. nodzēst skaitļa lielāko (vienu no lielākajiem, ja tādi ir vairāki) ciparu.

Vai ar šādām operācijām no skaitļa \(9\) var iegūt skaitli \(27\), atkārtojot tās vairākas reizes jebkādā secībā?

Kādām \(n\) vērtībām \(n\) cilvēkus var sadalīt grupās (varbūt tikai vienā) tā, lai katrā grupā būtu tieši \(5\), \(6\) vai \(7\) cilvēki?

Izveidot septiņciparu skaitli, kas dalās ar \(7\) un kura pierakstā katrs no cipariem \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 7,\ 8\) izmantots tieši vienu reizi.

Dota skaitļu virkne \(1,\ 1,\ 2,\ 5,\ 9,\ 6,\ \ldots\). Tā tiek veidota pēc likuma: virknes pirmie divi locekļi ir \(1\), bet katrs nākamais ir vienāds ar divu iepriekšējo locekļu kvadrātu summas pēdējo ciparu.

(A) Noteikt, vai šīs virknes \(2012.\) loceklis ir pāra vai nepāra skaitlis.
(B) Aprēķināt virknes \(2012.\) locekli.

(A) Dots, ka \(a+b=c\). Pierādīt, ka \(2a^{2} \geqq c^{2}-2b^{2}\).
(B) Dots, ka \(a+b+c=d\). Pierādīt, ka \(3a^{2} \geq d^{2}-3b^{2}-3c^{2}\).

Dotas sešas vienāda izskata monētas un sviras svari bez atsvariem. Četras no monētām sver \(8\) gramus katra, pārējās divas sver \(7\) gramus katra. Kā ar divām svēršanām atrast vismaz vienu monētu, kas sver \(7\) gramus?

Maijai dārzā ir kvadrātveida puķu dobe, kura sastāv no \(10 \times 10\) vienādiem kvadrātveida lauciņiem. Viņa ir iegādājusies dzeltenu, sarkanu un baltu tulpju sīpoliņus. Maija vēlas katrā lauciņā iestādīt tieši vienu tulpi.

(A) Vai Maija var trīs krāsu tulpes iestādīt tā, lai katrā rindā būtu nepāra skaits katras krāsas ziedu?

(B) Vai Maija var tulpes iestādīt tā, lai lauciņos, kam ir kopīga mala, uzziedētu atšķirīgas krāsas tulpes un lai katrā rindā jebkuras trīs pēc kārtas ņemtas tulpes, būtu atšķirīgās krāsās?

Regulāra trijstūra iekšpusē patvaļīgi izvēlēts punkts \(P\). Pierādīt, ka attālumu summa no punkta \(P\) līdz trijstūra malām nav atkarīga no punkta \(P\) izvēles.

Kādiem pirmskaitļiem \(p\) skaitlim \(p^{2}+23\) ir tieši četri naturāli dalītāji?

(A) Pa apli izvietot ciparus \(1\) un \(2\) (pavisam astoņus ciparus) tā, lai, lasot pa trīs cipariem pēc kārtas pulksteņrādītāja virzienā, būtu sastopami visi trīsciparu skaitļi, kuru pierakstā ir tikai cipari \(1\) un/vai \(2\).

(B) Vai pa apli var izvietot \(16\) ciparus \(1\) un \(2\) tā, lai, lasot pa četriem cipariem pēc kārtas pulksteņrādītāja virzienā, būtu sastopami visi četrciparu skaitļi, kuru pierakstā ir tikai cipari \(1\) un/vai \(2\)?

(Piemēram, 2.zīm. parādīts, ka četrus ciparus var izvietot tā, lai būtu sastopami visi divciparu skaitļi, kuru pierakstā ir tikai cipari \(1\) un/vai \(2\): \(11,\ 12,\ 22,\ 21\).)

Uzzīmēt plaknē sešus punktus tā, lai no katra uzzīmētā punkta tieši trīs citi uzzīmētie punkti atrastos tieši \(1~\mathrm{cm}\) attālumā.

Trijstūrī \(ABC\) leņķis \(ABC\) ir \(30^{\circ}\) liels. Uz malas \(AB\) izvēlēts punkts \(E\), bet uz malas \(BC\) punkts \(F\) tā, ka trijstūris \(CEF\) ir vienādmalu. Pierādīt, ka punkts \(F\) ir malas \(BC\) viduspunkts.