Atrisini vienādojumu:

\[\begin{aligned} & \frac{1}{\sqrt{x-2012}+\sqrt{x-2010}}+\frac{1}{\sqrt{x-2010}+\sqrt{x-2008}}+\ldots+ \\ & +\frac{1}{\sqrt{x-2}+\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{x+2010}+\sqrt{x+2012}}=\frac{1}{\sqrt{2}} . \end{aligned}\]

Atrodi vienu skaitli, kuram ir tieši \(12\) veseli pozitīvi dalītāji.

Pa apli uzrakstīti \(11\) veseli skaitļi. Jebkuru trīs pēc kārtas ņemtu skaitļu summa dalās ar \(5\). Pierādi, ka visi uzrakstītie skaitļi dalās ar \(5\).

Pierādi, ka nav tāda naturāla skaitļa \(n\), ka skaitlis \(n^{2}-3n-1\) dalās ar \(169\).

Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(a\) un \(b\), kuriem izpildās vienādība \(ab(3a+5b)=1234567\)?

Vai pa apli var uzrakstīt (A) sešus (B) septiņus dažādus naturālus skaitļus tā, lai jebkuru divu blakusstāvošu skaitļu summa būtu pirmskaitlis un visi summās iegūtie pirmskaitļi būtu dažādi?

Vai telpā var izvietot (A) \(6\) punktus, (B) \(7\) punktus tā, lai jebkuri trīs no tiem būtu vienādsānu trijstūra virsotnēs un nekādi pieci no tiem neatrastos vienā plaknē?

Trijstūrī \(ABC\) \(\sphericalangle ABC=90^{\circ}\), bet punkts \(P\) atrodas uz malas \(AB\). Punkti \(M\) un \(N\) ir attiecīgi nogriežņu \(AC\) un \(PC\) viduspunkti. Pierādi, ka \(\sphericalangle BAC=\sphericalangle BMN\)

\(24\)-stāvu mājā ir lifts, kuram ir divas pogas. Nospiežot vienu pogu, tas paceļas (ja iespējams) \(17\) stāvus uz augšu, nospiežot otru nolaižas \(8\) stāvus uz leju (ja iespējams). Noskaidro, no kura stāva ar šo liftu var nokļūt uz jebkuru citu stāvu šajā mājā. (Lifts nevar uzbraukt augstāk par 24. stāvu un zemāk par 1. stāvu.)

Zīmuļi tiek pakoti divu veidu kastītēs: pa \(7\) zīmuļiem kastītē un pa \(10\) zīmuļiem kastītē. Kāds ir vislielākais zīmuļu skaits, ko nevar precīzi sapakot minēto veidu kastītēs (t.i., visām izmantotajām kastītēm jābūt pilnām un neviens zīmulis nedrīkst palikt pāri)?

Pierādi: ja \(p\) un \(14p^{2}+1\) ir pirmskaitļi, tad \(14p^{2}-1\) ir naturāla skaitļa kubs.

Starp skaitļiem

\[4\;\;1\;\;5\;\;7,\]

Figūriņa zilonis var pārvietoties vienu rūtiņu uz augšu, vienu rūtiņu pa labi vai vienu rūtiņu pa diagonāli (skat. 2.zīm.). Cik dažādos veidos zilonis no rūtiņas \(A\) var nokļūt rūtiņā \(B\) (skat. 3.zīm.)? Iekrāsotajā rūtiņā ir šķērslis, tajā zilonis nedrīkst iet.

Dotas divas paralēlas taisnes. Uz vienas no tām atzīmēti \(10\) zaļi punkti, uz otras- \(10\) sarkani punkti. Kādu lielāko skaitu nogriežņu, kuriem viens galapunkts ir zaļš, bet otrs- sarkans, var novilkt tā, lai tie nekrustotos?

(Saka, ka nogriežņi krustojas, ja tiem ir kopīgs iekšējais punkts, t.i., ja tiem ir kopīgs tikai galapunkts, tie nekrustojas.)

Punkti \(A, B, C\) atrodas uz vienas taisnes, bet \(A_{1}, B_{1}, C_{1}\)- uz citas taisnes. Pierādi: ja \(AB_{1}\) paralēls \(A_{1}B\) un \(AC_{1}\) paralēls \(A_{1}C\), tad \(BC_{1}\) paralēls \(B_{1}C\).

No pilsētas \(A\) uz pilsētu \(B\) vienlaicīgi izbrauca zaļa un sarkana automašīna. Sarkanā automašīna visu ceļu veica ar pastāvīgu ātrumu. Zaļā automašīna tieši pusi ceļa veica ar pastāvīgu ātrumu \(30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\). Vai, otro ceļa pusi veicot ar lielāku ātrumu, zaļā automašīna var panākt sarkano automašīnu un pilsētā \(B\) ierasties vienlaicīgi ar to, ja sarkanās automašīnas ātrums bija (A) \(40 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\), (B) \(60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\)?

Dota trapece, kuras pamatu malu garumi ir \(3\) un \(13\). Pierādi, ka to nevar sadalīt piecos vienlielos trijstūros.

(Figūras sauc par vienlielām, ja tām ir vienādi laukumi.)

Uz tāfeles uzrakstītas deviņas zvaigznītes * * * * * * * * *. Jānis ieraksta kādas zvaigznītes vietā jebkuru ciparu no \(1\) līdz \(9\). Pēc tam Pēteris jebkuru divu citu zvaigznīšu vietā ieraksta divus ciparus (tie var arī atkārtoties). Pēc tam vēl divas reizes viņi atkārto šo darbību. Pēteris uzvar, ja iegūtais deviņciparu skaitlis dalās ar \(37\). Vai Pēteris vienmēr var uzvarēt?

Caur trijstūra \(ABC\) malas \(AB\) iekšēju punktu \(P\) novilkta taisne, kas ir paralēla \(BC\) un krusto \(\triangle ABC\) apvilkto riņķa līniju punktos \(M\) un \(N\) ( \(A, M\) un \(B\) atrodas uz riņķa līnijas tieši šādā secībā). \(MC\) krusto \(AB\) punktā \(Q\). Pierādi, ka \(NQ\) iet caur trijstūriem \(AMQ\) un \(APN\) apvilkto riņķa līniju krustpunktu.

Sadali 1.zīmējumā attēloto figūru trīs vienādās figūrās. (Figūru un tās spoguļattēlu saucam par vienādām figūrām.)

Atrisini vienādojumu \(\lg x \cdot \lg (4-x)=\frac{1}{4}\).

Plaknē doti \(16\) punkti, kas izvietoti kvadrātiska režģa veidā kā parādīts 4.zīm. Taisnstūri sauksim par labu, ja tā virsotnes atrodas režģa punktos, malas ir paralēlas režģa līnijām un nav tā, ka starp taisnstūra virsotnēm ir gan viens no četriem režģa stūriem (punkti \(A, B, C, D\)), gan viens no četriem režģa punktiem, kas atrodas režģa iekšienē (punkti \(M, N, O, P\) ).

Kāds ir lielākais režģa punktu skaits, ko var atzīmēt tā, lai nebūtu laba taisnstūra, kuram visas virsotnes ir atzīmētie punkti?

Kvadrātā ar izmēriem \(8 \times 8\) rūtiņas sākumā visas rūtiņas ir baltas. Kāds mazākais skaits rūtiņu šajā kvadrātā jānokrāso zaļas, lai katrā taisnstūrī ar izmēriem \(1 \times 3\) rūtiņas, ko varētu iezīmēt dotajā kvadrātā (horizontāli vai vertikāli), būtu vismaz viena zaļa rūtiņa?

Kvadrātveida tabula ar izmēriem \(7 \times 7\) rūtiņas aizpildīta ar skaitļiem no \(1\) līdz \(7\) tā, ka katrā rindā ierakstīti visi skaitļi no \(1\) līdz \(7\). Tabula ir simetriska attiecībā pret vienu no diagonālēm. Pierādi, ka šajā diagonālē ierakstīti visi skaitļi no \(1\) līdz \(7\).

(Tabulu sauc par simetrisku attiecībā pret diagonāli, ja rūtiņās, kas ir simetriskas pret šo diagonāli ierakstīti vienādi skaitļi.)

Kvadrātvienādojuma \(x^{2}-507x+a=0\) saknes ir \(p^{2}\) un \(q\), kur \(p\) un \(q\) ir pirmskaitļi. Aprēķini \(a\) skaitlisko vērtību.

Vai kubu var sagriezt \(20\) mazākos kubiņos (daži no tiem var būt vienādi, daži atšķirīgi)?

Klasē ir \(17\) skolēni. Katru dienu daži no viņiem (vismaz viens) tiek izsaukti pie tāfeles. Kāds ir mazākais dienu skaits, pēc kurām ir iespējams, ka katriem diviem klases skolniekiem ir bijusi diena, kad viens no viņiem ir izsaukts pie tāfeles, bet otrs nē?

Uz tāfeles uzrakstīti desmit skaitļi

\[\begin{array}{llllllllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \end{array}\]

Pamato, ka neatkarīgi no secības, kādā Alfons izpilda darbības, beigās tiek iegūts viens un tas pats skaitlis. Kāds tas ir?

Skolas matemātikas olimpiādē piedalījās ne vairāk kā \(60\) skolēnu. Vidējais punktu skaits, ko ieguva zēni, bija \(21,6\). Vidējais punktu skaits, ko ieguva meitenes, bija \(15\). Vidējais punktu skaits, ko ieguva visi skolēni, bija \(20\). Cik skolēnu piedalījās olimpiādē?

Divu naturālu skaitļu pierakstā izmantoti tikai cipari \(1, 4, 6\) un \(9\). Vai var gadīties, ka viens skaitlis ir tieši septiņas reizes lielāks nekā otrs skaitlis?

Pierādi, ka izliektu \(2012\)-stūri nevar sadalīt \(200\) izliektos \(12\)-stūros.

Dots trijstūris \(ABC\) un punkts \(P\) tā iekšpusē. Pierādi, ka attālumu summa no punkta \(P\) līdz dotā trijstūra virsotnēm ir lielāka nekā puse no trijstūra perimetra.

Maisā ir baltas, zaļas un sarkanas pogas (citu krāsu pogu maisā nav). Kādu mazāko skaitu pogu uz labu laimi (tās neredzot) ir jāizņem, lai noteikti būtu paņemtas vai nu \(2\) baltas, vai \(3\) zaļas, vai \(4\) sarkanas pogas.

Doti seši nogriežņi ar garumiem \(1~\mathrm{cm}\), \(3~\mathrm{cm}\), \(5~\mathrm{cm}\), \(7~\mathrm{cm}\), \(9~\mathrm{cm}\), \(11~\mathrm{cm}\). Cik dažādos veidos no tiem var izvēlēties trīs nogriežņus tā, ka no tiem var izveidot trijstūri (katra trijstūra mala ir viens vesels nogrieznis)?

Parādi, kā kvadrātu var sadalīt vairākos platleņķa trijstūros. (Trijstūri sauc par platleņķa trijstūri, ja tam ir viens plats leņķis un divi šauri leņķi.)

Sadali kvadrātu divos vienādos (A) sešstūros, (B) septiņstūros.

Skaitļi \(A\) un \(B\) ir divi dažādi \(7\)-ciparu skaitļi, kuri katrs satur visus ciparus no \(1\) līdz \(7\). Pierādi, ka \(A\) nedalās ar \(B\).

Dots, ka \(x_{1}\) ir vienādojuma \(x^{2}+px+q=0\) sakne, bet \(x_{2}\) ir vienādojuma \(-x^{2}+px+q=0\) sakne. Pierādi, ka vienādojumam \(\frac{1}{3}x^{2}+px+q=0\) noteikti ir sakne \(x_{3}\), kas atrodas starp \(x_{1}\) un \(x_{2}\) (t.i., \(x_{1} \leq x_{3} \leq x_{2}\) vai \(x_{2} \leq x_{3} \leq x_{1}\)).

Dots izliekts četrstūris \(ABCD\), leņķi \(DAB\) un \(BCD\) ir plati. Pierādi, ka \(BD > AC\).

Vienā un tajā pašā riņķa līnijā ievilkts regulārs \(9\)-stūris un regulārs \(10\)-stūris. To virsotnes sadala riņķa līniju \(19\) lokos. Pierādi, ka ir loks, kurš nepārsniedz \(2^{\circ}\).