Vai \(8 \times 8\) rūtiņas lielā kvadrātā var aizkrāsot (A) \(16\) rūtiņas, (B) \(17\) rūtiņas tā, ka nekādas divas aizkrāsotās rūtiņas neatrodas blakus? (Par blakus rūtiņām sauksim rūtiņas, kurām ir kopīgs vismaz viens punkts).

Vai skaitli \(119\) var izteikt kā vairāku naturālu skaitļu summu tā, lai arī šo skaitļu reizinājums būtu \(119\)?

Cik ir tādu naturālu skaitļu \(n\) no \(1\) līdz \(2011\) ieskaitot, ka skaitlis \((n+1)(n+2)(n+3)\) dalās ar \(125\)?

Pierādīt, ka nav tādu naturālu skaitļu \(a, x\), \(y\) un \(z\), ka \(7^{a}=7^{x}+7^{y}+7^{z}\).

Cik rūtiņas liels ir trijstūra \(ABC\) laukums?

\(6 \times 6\) rūtiņas lielā kvadrātā izkrāso sešas rūtiņas tā, lai no tā nevarētu izgriezt ne taisnstūri \(1 \times 6\) rūtiņas, ne kvadrātu \(3 \times 3\) rūtiņas, kam visas rūtiņas ir neizkrāsotas.

Apskatām funkcijas \(y=ax^{2}+x+b\), kur \(a\) un \(b\)- reāli skaitļi, pie tam \(a+b=2011\). Pierādīt, ka visu šādu funkciju grafikiem ir divi kopīgi punkti.

Trijstūrī \(ABC\) caur patvaļīgu malas \(BC\) iekšējo punktu \(P\) tiek vilktas taisnes \(u \| AC\) un \(v \| AB\), kuras krusto malas \(AB\) un \(AC\) attiecīgi punktos \(M\) un \(N\). Pierādīt, ka trijstūra \(ABC\) laukums ir vienāds ar trijstūru \(MBC\) un \(NBC\) laukumu summu.

Atrisināt vienādojumu sistēmu reālos skaitļos:

\[\left\{\begin{array}{l} x+xy+y=17 \\ y+yz+z=71 \\ z+zx+x=11 \end{array}\right.\]

Pilsētā, kurā dzīvo godīgie iedzīvotāji (kas vienmēr runā tikai taisnību) un blēži (kas vienmēr melo), notika domes vēlēšanas, kurās piedalījās visi pilsētas iedzīvotāji. Balsot varēja par kādu no četrām partijām \(A, B, C\) un \(D\), un katrs iedzīvotājs nobalsoja tieši par vienu partiju. Pirms rezultātu apkopošanas žurnālisti veica visu iedzīvotāju aptauju. Uz jautājumu "Vai jūs balsojāt par partiju \(A\)?" ar "Jā" atbildēja \(22\%\) pilsētas iedzīvotāju. Uz līdzīgu jautājumu par partiju "\(B\)" ar "Jā" atbildēja \(33\%\), par partiju "\(C\)" - \(44\%\), bet par partiju "\(D\)" \(55\%\) iedzīvotāju. Cik procenti pilsētas iedzīvotāju ir godīgie iedzīvotāji un cik blēži?

Zināms, ka \(a\) un \(b\) ir naturāli skaitļi, pie tam \(a^{b}+1\) dalās ar \(21\). Kāda ir mazākā iespējamā summas \(a+b\) vērtība?

Pilsētā, kurā dzīvo godīgie iedzīvotāji (kas vienmēr runā tikai taisnību) un blēži (kas vienmēr melo), notika domes vēlēšanas, kurās piedalījās visi pilsētas iedzīvotāji. Balsot varēja par kādu no četrām partijām \(A\), \(B\), \(C\) un \(D\), un katrs iedzīvotājs nobalsoja tieši par vienu partiju. Pirms rezultātu apkopošanas žurnālisti veica visu iedzīvotāju aptauju. Uz jautājumu "Vai jūs balsojāt par partiju \(A\)?" ar "Jā" atbildēja \(33\%\) pilsētas iedzīvotāju. Uz līdzīgu jautājumu par partiju "\(B\)" ar "Jā" atbildēja \(44\%\), par partiju "\(C\)"- \(55\%\), bet par partiju "\(D\)" \(0\%\) iedzīvotāju. Kāds patiesībā bija balsu sadalījums, t.i., cik procenti iedzīvotāju nobalsoja par katru partiju?

Naturālu skaitli sauksim par fantastisku, ja tas ir vienāds ar sava kvadrāta ciparu reizinājumu. Piemēram, \(1\) ir fantastisks (jo \(1^{2}=1\) un \(1=1\)), bet \(4\)- nē (jo \(4^{2}=16\), bet \(1 \cdot 6=6 \neq 4\) ). Pierādīt, ka visi nepāra skaitļi, kas lielāki par \(1\), nav fantastiski.

Trijstūris \(ABC\) ir vienādsānu (\(AB=BC\)) un \(\sphericalangle ABC=30^{\circ}\). Uz malas \(AB\) izvēlēts punkts \(E\), bet uz malas \(BC\) - punkts \(F\), tā, ka trijstūris \(CEF\) ir vienādmalu. Aprēķināt trijstūru \(CEF\) un \(ABC\) laukumu attiecību!

Atrisināt reālos skaitļos vienādojumu

\[\left(\frac{1}{2}-\sqrt{1-a^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}-\sqrt{1-b^{2}}\right)^{2}=\frac{1}{2}\]

Astoņas raganas katra ir iemācīusies jaunu burvestību (katra citu). Katrai raganai ir mobilais telefons. Kad viena ragana piezvana otrai, tās vienas minūtes laikā paspēj viena otrai iemācīt visas burvestības, ko māk pašas. Kāds ir mazākais iespējamais laiks, pēc kura visas raganas būs iemācījušās visas jaunās burvestības?

Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(x\) un \(y\), ka (A) \(12x-8y=2\); (B) \(11x-7y=2\)?

Trijstūrī \(ABC\) novilkts augstums \(AD\). Zināms, ka \(AC > AB\). Pierādīt, ka \(DC-DB > AC-AB\).

Bobslejista Jāņa komanda piedalījās sacensībās, kurās uzvarētāju nosaka pēc četru braucienu laiku kopsummas - kam šī summa mazāka, tas ieņem augstāku vietu. Jāņa komanda pirmajā braucienā ieņēma \(2.\), otrajā braucienā- \(3.\), trešajā \(4.\), bet ceturtajā braucienā- \(10.\) vietu. Pavisam sacensībās piedalījās \(18\) komandas. Atsevišķu komandu braucienu laiki atsevišķos braucienos un šo laiku kopsumma visām komandām bija atšķirīga. Kādu augstāko un kādu zemāko vietu kopvērtējumā varēja iegūt Jāņa komanda?

Apskatām zīmējumā parādīto figūru, kas sastāv no \(32\) rūtiņām. Kāds ir lielākais dažādu taisnstūru skaits, kuros to var sagriezt (griezumus jāveic tikai pa rūtiņu malām)? Atbildi pamato! (Divus taisnstūrus uzskata par atšķirīgiem, ja tiem atšķiras izmēri nevis tikai novietojums, piemēram, un ir vienādi taisnstūri.)

Vai ir iespējams \(5 \times 5\) rūtiņu kvadrātā izkrāsot dažas rūtiņas tā, ka katrā \(3 \times 3\) rūtiņu kvadrātā, kas ir lielā kvadrāta daļa, ir iekrāsotas tieši (A) trīs, (B) četras rūtiņas?

Pierādīt, ka visiem reāliem \(x, y\)

\[x^{2}+y^{2}+4 \geq 2x+2y+xy\]

Trijstūrī \(ABC\) \(\sphericalangle ABC=30^{\circ}\). Uz malas \(AB\) izvēlēts punkts \(E\), bet uz malas \(BC\) punkts \(F\), tā, ka trijstūris \(CEF\) ir vienādmalu. Pierādīt, ka punkts \(F\) ir malas \(BC\) viduspunkts.

Zināms, ka skaitlis \(1\) ir vienādojuma \(x^{2}+px+q=0\) sakne. Ar ko ir vienāda summa \(p+q\)?

Kvadrātā \(ABCD\) ir ievilkts riņķa līnijas loks \(AC\) (riņķa līnijas centrs ir \(D\), bet rādiuss \(DA\); skat.zīm.). Uz loka \(AC\) atzīmēts tāds punkts \(E\), ka \(\sphericalangle ADE=2 \sphericalangle ABE\). Aprēķināt \(\sphericalangle ABE\) lielumu.

Ar \(\lfloor a \rfloor\) apzīmējam lielāko veselo skaitli, kas nepārsniedz \(a\). Atrisināt pozitīvos skaitļos vienādojumu

\[x \cdot \left\lfloor x \cdot \lfloor x \rfloor \right\rfloor = 41.\]

Aplī uzrakstīti \(n\) veseli skaitļi, kuru summa ir \(10\), pie tam katrs skaitlis ir vienāds ar tam pulksteņrādītāja virzienā sekojošo divu skaitļu starpības moduli. Atrast visas iespējamās \(n\) vērtības!

Taisnstūrveida rūtiņu tabula sastāv no \(n\) rindām un \(2011\) kolonnām. Tās rūtiņās ierakstīts pa naturālam skaitlim tā, ka katrā rūtiņā ierakstītais skaitlis ir mazāks vai vienāds ar tieši vienā tās kaimiņu rūtiņā ierakstīto skaitli. Kādai lielākajai \(n\) vērtībai tas ir iespējams? (Divas rūtiņas sauksim par kaimiņu rūtiņām, ja tām ir kopīga mala.)

Pa apli uzrakstīti pieci dažādi skaitļi, nekādu divu blakus uzrakstīto skaitļu reizinājums nav pozitīvs. Aplūkojam visus piecus triju pēc kārtas uzrakstītu skaitļu reizinājumus. Cik no tiem ir pozitīvi?

Piecciparu skaitlis \(B\) ir iegūts no mazāka piecciparu skaitļa \(A\), samainot vietām tā ciparus. Pierādīt, ka \(B-A\) dalās ar \(9\).

Pierādīt, ka neeksistē daudzskaldnis, kuram ir nepāra skaits skaldņu un katrai skaldnei ir nepāra skaits virsotņu.

Četrdesmitvietīgs autobuss veica reisu no pilsētas \(A\) uz pilsētu \(G\), pa ceļam pieturot pilsētās \(B, C, D, E\) un \(F\) (iespējams, citā secībā). Katrā pilsētā iekāpušo un/vai izkāpušo pasažieru skaits parādīts tabulā:

Noteikt, kādā secībā tika apmeklētas pilsētas \(B, C, D, E\) un \(F\), ja zināms, ka nevienā brīdī autobusā netika pārvadāts vairāk pasažieru kā autobusā ir vietu!

Aplī uzrakstīti \(k\) dažādi naturāli skaitļi. Starp tiem pāra skaitļu ir trīs reizes vairāk nekā nepāra skaitļu. Tādu vietu, kur blakus esošo skaitļu summa dalās ar \(2\), ir divreiz vairāk nekā tādu vietu, kur blakus esošo skaitļu summa nedalās ar \(2\). Kāda ir mazākā iespējamā \(k\) vērtība?

(A) Dots, ka \(s+t=p\). Pierādīt, ka \(2s^{2} \geq p^{2}-2t^{2}\).
(B) Dots, ka \(s+t+u=p\). Pierādīt, ka \(3s^{2} \geq p^{2}-3t^{2}-3u^{2}\).

Visi piecciparu naturālie skaitļi, kuru pierakstā katrs no cipariem \(1, 2, 3, 4, 5\) izmantots tieši vienu reizi, ir uzrakstīti virknē augošā secībā: \(12345, 12354, 12435, \ldots\). Kurš pēc kārtas šajā virknē ir skaitlis \(45321\)?

Uz izliekta četrstūra \(ABCD\) malas \(BC\) atzīmēts iekšējs punkts \(E\), bet uz pretējās malas \(AD\)- iekšējs punkts \(F\). Zināms, ka nogrieznis \(EF\) krusto četrstūra \(ABCD\) diagonāles to viduspunktos. Pierādīt, ka trijstūru \(ADE\) un \(BCF\) laukumi ir savā starpā vienādi!

Sacensībās piedalījās deviņas kamaniņbraucējas. Sacensību uzvarētāju nosaka pēc četru braucienu laiku kopsummas - kam šī summa mazāka, tā ieņem augstāku vietu. Atsevišķu sportistu braucienu laiki atsevišķos braucienos un šo laiku kopsumma visām sportistēm bija atšķirīga. Kamaniņbraucēja Maija visos braucienos ienēma vienu un to pašu - \(N\)-to vietu. Kādai lielākajai \(N\) vērtībai iespējams, ka Maija kopvērtējumā tomēr uzvarēs, t.i., iegūs \(1.\) vietu?

Vai naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(21\) var sadalīt grupās tā, ka katrā grupā lielākais skaitlis ir vienāds ar pārējo skaitļu summu?

Sagriez zīmējumā redzamo figūru pa rūtiņu malām četrās gan pēc formas, gan pēc laukuma vienādās daļās tā, lai katrā no tām būtu pa vienam melnam un pa vienam baltam aplītim.

Atrodiet skaitļa \(1^{2}+2^{2}+\cdots+99^{2}\) pēdējo ciparu.