Nogriežņa \(AB\) garums ir \(10~\mathrm{cm}\). Uz tā kā uz hipotenūzas konstruēti divi taisnleņķa trijstūri \(ABC\) un \(ABD\) tā, ka \(C\) un \(D\) atrodas dažādās pusēs no taisnes \(AB\). \(CD\) ir leņķa \(ACB\) bisektrise. Aprēķini trijstūra \(ABD\) laukumu!

Leonards izvēlējās patvaļīgu trīsciparu skaitli, pareizināja to ar \(2\) un tam galā pierakstīja sākotnējo skaitli. Vai viņa jauniegūtais skaitlis noteikti dalās ar (A) \(17\); (B) \(23\)?

Kvadrātā ar izmēriem \(7 \times 7\) rūtiņas jāizvieto \(n\) "stūrīšus" (2.zīm. attēlotās figūras) tā, lai tajā vairāk nevarētu ievietot nevienu citu šādu "stūrīti". (Stūrīšu malām jāiet pa rūtiņu malām. Stūrīši var arī būt pagriezti citādāk.)

Parādi, kā to var izdarīt, ja
(A) \(n=9\);
(B) \(n=8\).

Parādi, kā kvadrātu var sadalīt vairākos platleņķa trijstūros!

Cik veidos taisnstūri ar izmēriem \(3 \times 12\) rūtiņas var sadalīt taisnstūros ar izmēriem \(1 \times 3\) rūtiņas? (Dalījuma līnijām jāiet pa rūtiņu malām, taisnstūri var būt novietoti gan horizontāli, gan vertikāli.)

Atrodi visus naturālu skaitļu pārus \((x, y)\) tādus, ka \(x \neq y\) un

\[\frac{1}{x^{2}+24}+\frac{1}{y^{2}+24}=\frac{2}{xy+24}\]

Riņķī ievilkti regulārs \(9\)-stūris un regulārs \(10\)-stūris. To virsotnes sadala riņķa līniju \(19\) lokos. Pierādīt, ka ir loks, kurš nepārsniedz \(2^{\circ}\).

Betai bija \(50\) konfektes, bet Almai un Danai bija vienāds konfekšu skaits. Beta pazaudēja vienu konfekti un noskuma. Almai kļuva Betas žēl, un viņa atdeva māsai pusi no savām konfektēm. Beta nomierinājās un nolēma, ka viņai tagad konfekšu ir par daudz un atdeva pusi no savām Danai. Arī Dana izlēma padalīties ar Almu un atdeva pusi no savām konfektēm Almai. Tagad Almai un Betai ir vienāds konfekšu skaits. Cik konfekšu sākumā bija katrai no māsām?

Tornis ir salikts no vienādiem kubiņiem, kur katra kubiņa izmērs ir \(1 \times 1 \times 1\): apakšējā slānī ir \(16\) kubiņi, otrajā slānī ir \(9\) kubiņi, trešajā slānī \(4\) kubiņi un augšā - viens kubiņš (skat. 6.zīm.)

Vai šo torni var salikt no

(A) klucīšiem ar izmēru \(1 \times 1 \times 2\) (skat. 7.zīm.)?
(B) stūrīšiem, ko veido \(3\) kubiņi (skat. 8.zīm.)?

Vai telpā var izvietot \(6\) punktus tā, lai jebkuri trīs no tiem būtu vienādsānu trijstūra virsotnēs un nekādi pieci no tiem neatrastos vienā plaknē?

Taisne nokrāsota \(10\) dažādās krāsās. Pierādi, ka uz tās var atrast divus vienas krāsas punktus, starp kuriem attālums centimetros ir vesels skaitlis.

Ap kvadrātu \(ABCD\) ir apvilkta riņķa līnija, uz kuras mazākā loka \(AB\) ir izvēlēts patvaļīgs punkts \(P\). \(PC\) krusto \(AB\) un \(BD\) attiecīgi punktos \(M\) un \(X\); \(PD\) krusto \(AB\) un \(AC\) attiecīgi punktos \(N\) un \(Y\). \(MY\) un \(NX\) krustojas punktā \(Q;\ AC\) un \(BD\) krustojas punktā \(O\).

Pierādīt, ka \(QXOY\) ir taisnstūris.

Reizināšanas piemērā ciparus aizstāja ar burtiem un ieguva izteiksmi \(AB \cdot CD=EEE\).

Atjauno sākotnējo reizināšanas piemēru, ja zināms, ka vienādi burti apzīmē vienādus ciparus, bet dažādi burti - dažādus ciparus, pie tam ne \(A\), ne \(C\) nav \(0\). Atrodi visus iespējamos atrisinājumus!

Kvadrāta ar izmēriem \(8 \times 8\) rūtiņas apakšējā labajā stūra rūtiņā atrodas figūriņa sienāzis. 5.zīmējumā attēloti sienāža iespējamie gājieni. No jebkuras rūtiņas, kurā sienāzis kādā brīdī atrodas, viņš var pārvietoties tādā pašā virzienā par tādu pašu attālumu kā no \(A\) uz jebkuru rūtiņu \(X\) pie nosacījuma, ka viņš paliek kvadrāta iekšpusē

Kurās no pārējām trijām kvadrāta stūra rūtiņām sienāzis var nonākt un kurās - nevar, izpildot tikai atļautos gājienus?

Cik dažādos veidos skaitli \(2011\) var izteikt kā vismaz divu pēc kārtas sekojošu naturālu skaitļu summu? Saskaitāmo secība nav svarīga.

No pilsētas \(A\) uz pilsētu \(B\) vienlaicīgi izbrauca zaļa un sarkana automašīna. Sarkanā automašīna visu ceļu veica ar pastāvīgu ātrumu. Zaļā automašīna tieši pusi ceļa veica ar pastāvīgu ātrumu \(30~\mathrm{km/h}\). Vai, otro ceļa pusi veicot ar lielāku ātrumu, zaļā automašīna var panākt sarkano automašīnu un pilsētā \(B\) ierasties vienlaicīgi ar to, ja sarkanās automašīnas ātrums bija (A) \(40~\mathrm{km/h}\), (B) \(60~\mathrm{km/h}\)?

3.zīmējumā dota \(3 \times 3\) rūtiņu tabula, kurā ierakstīti veseli skaitļi. Vienā gājienā atļauts izvēlēties divas dažādas tabulas rūtiņas apzīmēsim tajās ierakstītos skaitļus attiecīgi ar \(a\) un \(b\), nodzēst šos divus skaitļus un to vietā ierakstīt: \(a\) vietā - skaitli \(5 \cdot a-2 \cdot b\), bet \(b\) vietā - skaitli \(5 \cdot b-2 \cdot a\).

Vai, vairākkārt veicot šādus gājienus, var iegūt tabulu, kāda attēlota 4.zīm.?

Uz riņķa līnijas ir izvēlētas divas hordas \(AC\) un \(BD\), kas krustojas punktā \(O\), \(AO>BO\). \(MO\) ir \(\triangle AOB\) bisektrise, pie tam \(AM=DO\). Pierādīt, ka \(BM=CO\).

Dots vienādojums \(\# x^2 − \# x + \# = 0\). Divi rūķīši spēlē spēli - pirmais nosauc trīs dažādus skaitļus, bet otrais tos kaut kādā secībā saliek "\(\#\)" vietās. Vai pirmais rūķītis vienmēr var panākt, lai vienādojumam būtu vismaz viena racionāla sakne?

Vai naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(12\), katru izmantojot tieši vienu reizi, var uzrakstīt pa apli tādā secībā, ka jebkuru divu blakus esošu skaitļu starpība ir

(A) \(2\) vai \(3\);
(B) \(3\) vai \(4\)?

Dotās \(3 \times 3\) rūtiņu tabulas katrā rūtiņā jāieraksta pa vienam naturālam skaitlim tā, lai katrā rindā, katrā kolonnā un katrā diagonālē ierakstīto trīs skaitļu summas būtu vienādas. Ir zināmi trīs rūtiņās ierakstītie skaitļi (skat. 1.zīm.). Aizpildi pārējās tabulas rūtiņas!

Jānis un Anna spēlē šādu spēli. Uz tāfeles ir uzrakstīts naturāls skaitlis. Spēlētāji pēc kārtas veic gājienu: no uzrakstītā skaitļa atnem kādu šī skaitļa ciparu (izņemot \(0\)), nodzēš uz tāfeles esošo skaitli un tā vietā uzraksta iegūto starpību. Uzvar tas, kurš pēc sava gājiena iegūst nulli.

Sākumā ir uzrakstīts skaitlis \(2011\), pirmo gājienu izdara Anna. Kurš no spēlētājiem, pareizi spēlējot, uzvarēs? Apraksti, kā uzvarētājam jārīkojas!

Starp skaitļiem

\[8\ 3\ 5\ 2,\]

Kuba šķautņu viduspunktos ierakstīti naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(12\), katrs tieši vienu reizi, tā, ka katrā skaldnē ierakstīto četru skaitļu summas būtu vienādas. Nosaki visas iespējamās šo summu vērtības.

Uz tāfeles augošā secībā uzrakstīti seši dažādi pirmskaitļi, kas nepārsniedz \(100\). Par tiem zināms, ka

• visu skaitļu pēdējie cipari ir atšķirīgi;
• sestais skaitlis ir par \(14\) lielāks nekā trešais;
• ceturtā skaitļa pirmais cipars ir vienāds ar otrā skaitļa pēdējo ciparu;
• piektā un sestā skaitļa pirmie cipari ir vienādi.

Atrodi visus šos skaitļus!

Kvadrāta iekšpusē izvēlēts patvaļīgs punkts \(M\), bet \(K,\ L,\ P,\ R\) ir kvadrāta malu viduspunkti. Pierādi, ka četrstūris, ko veido nogriežņu \(MK,\ ML,\ MP\) un \(MR\) viduspunkti, ir kvadrāts.

Atrisināt vienādojumu:

\[\begin{aligned} & \frac{1}{\sqrt{x-2011}+\sqrt{x-2009}}+\frac{1}{\sqrt{x-2009}+\sqrt{x-2007}}+\ldots \\ & +\frac{1}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{x+2009}+\sqrt{x+2011}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}\]

Vai pa riņķa līniju var izvietot \(2011\) dažādus naturālus skaitļus tā, ka jebkuriem diviem blakus esošiem skaitļiem lielākā skaitļa attiecība pret mazāko ir pirmskaitlis?

Atrodi izteiksmes \(\sin ^{38} x+\cos ^{38} x\) vislielāko un vismazāko vērtību!

Kvadrāts sadalīts piecos taisnstūros tā, ka šo taisnstūru malu garumi centimetros ir visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(10\). Parādi vienu piemēru, kā to var izdarīt!

Naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(9\) sadalīti trīs grupās pa trim skaitļiem un katrā grupā aprēķināta tajā ietilpstošo skaitļu summa. Vai var būt, ka

(A) visas summas ir pirmskaitļi?

(B) visas summas ir atšķirīgi pirmskaitļi?

Trijstūrī \(ABC\ \sphericalangle ABC=90^{\circ}\), bet punkts \(P\) atrodas uz malas \(AB.\ M\) un \(N\) ir attiecīgi \(AC\) un \(PC\) viduspunkti. Pierādi, ka \(\sphericalangle BAC=\sphericalangle BMN\).

Sešdesmit pensionāri katru dienu sociālajā tīklā sarakstās savā starpā. Katrs kungs sarakstās ar tieši \(17\) dāmām, bet katra kundze sarakstās ar tieši \(13\) kungiem. Cik starp šiem pensionāriem ir kungu un cik - kundžu?

Kvadrātā ar izmēriem \(8 \times 8\) rūtiņas sākotnēji visas rūtiņas ir baltas. Kāds mazākais skaits rūtiņu šajā kvadrātā jānokrāso zaļas, lai tajā nevarētu atrast nevienu pilnībā baltu taisnstūri ar izmēriem \(1 \times 3\) rūtiņas (novietotu horizontāli vai vertikāli)?

Kāds lielākais skaits pēc kārtas sekojošu naturālu skaitļu var būt ar īpašību, ka katrs no tiem ir izsakāms kā divu naturālu skaitļu kvadrātu starpība?

Dotas trīs aritmētiskas progresijas:

(1) \(1,\ 15,\ 29,\ 43,\ 57,\ 71,\ \ldots\)

(2) \(2,\ 17,\ 32,\ 47,\ 62,\ 77,\ \ldots\)

(3) \(3,\ 19,\ 35,\ 51,\ 67,\ 83,\ \ldots\)

(A) Atrodi mazāko skaitli, kas pieder visām trim dotajām virknēm!

(B) Pierādi, ka ir bezgalīgi daudz tādu skaitļu, kas pieder visām trim dotajām virknēm!

Atrisini doto vienādojumu sistēmu reālos skaitļos!

\[\left\{\begin{array}{l} (x-y)^{2}=(z-2)^{2} \\ (y-z)^{2}=(x-4)^{2} \\ (z-x)^{2}=(y-6)^{2} \end{array}\right.\]

Pierādīt, ka eksistē tādi pozitīvi skaitļi \(x\) un \(y\), ka

\[x^{y}+y^{x}+x+y<1+\frac{1}{2011}\]

Atrodi naturālu skaitli, kuru, dalot ar \(2010\), atlikumā iegūst \(13\), bet, dalot ar \(2011\), atlikumā iegūst \(3\).

Vai eksistē tādi naturāli skaitļi \(a\) un \(b\), kuriem izpildās vienādība

\[a \cdot b \cdot(a+b)=20102011?\]