Dota skaitļu virkne \(a_{1}=1\); \(a_{2}=1\); \(a_{i}=p \cdot a_{i-1}+q \cdot a_{i-2}\) pie \(i \geq 3\) (\(p,q\)- doti naturāli skaitļi). Zināms, ka katram naturālam skaitlim \(n\) eksistē tāds virknes loceklis \(a_{k}\), ka \(a_{k}\) dalās ar \(n\).

Pierādīt, ka \(p=q=1\).

Trijstūrī \(ABC\) mediānas \(AK, BG\) un \(CF\) krustojas punktā \(O\). Uz malas \(CB\) atzīmēti punkti \(P\) un \(Q\) tā, ka \(CP=BQ < CK\). \(AP\) krusto \(BG\) punktā \(D\), bet \(CF\)- punktā \(H\). \(AQ\) krusto \(BG\) punktā \(J\), bet \(CF\) punktā \(E\).

Pierādīt, ka trijstūru \(OHD\) un \(OEJ\) laukumi ir vienādi.

Starp \(10\) pilsētām ir uzbūvēti \(24\) ceļi. Katrs ceļš savieno divas pilsētas un starp katrām \(2\) pilsētām ir ne vairāk kā viens ceļš, ceļi ārpus pilsētām nekrustojas. Zināms, ka no katras pilsētas ir iespējams aizbraukt uz katru citu, braucot tikai pa ceļiem (iespējams, caur citām pilsētām).

(A) Pierādīt, ka no katras pilsētas ir iespējams aizbraukt uz katru citu, izbraucot caur ne vairāk kā \(3\) pilsētām.

(B) Pierādīt, ka, ja ir tikai \(23\) ceļi, (A) punkta apgalvojums nav spēkā.

Mūzikas festivālā piedalās \(7\) mūziķi. Katru dienu uzstājas tieši \(4\) no viņiem. Kāds ir mazākais iespējamais dienu skaits festivālā, pēc kura katriem diviem mūziķiem būs tāda diena, kurā viņi abi ir uzstājušies?

Dots, ka \(\left|a_{1}-a_{2}\right|=2\left|a_{2}-a_{3}\right|=3\left|a_{3}-a_{4}\right|=\ldots=20\left|a_{20}-a_{1}\right|\).

Pierādīt, ka \(a_{1}=a_{2}=a_{3}=\ldots=a_{20}\).

Vai iespējams, ka kvadrātvienādojuma \(x^{2}-a^{2}x+b^{2}=0\), \(a\) un \(b\) naturāli skaitļi, saknes ir divu dažādu naturālu skaitļu kvadrāti?

Par Fibonači skaitļu virkni sauc virkni \(F_{1}=1; F_{2}=1; F_{i+2}=F_{i}+F_{i+1}\) pie \(i \geq 1\). Pierādīt, ka katram naturālam skaitlim \(n\) Fibonači skaitļu virknē ir tāds virknes loceklis, kas dalās ar \(n\).

Šaurleņķu trijstūrī \(ABC\) nogriežņi \(BQ\) un \(CP\) ir augstumi. Caur punktiem \(A, P\) un \(Q\) ir novilkta riņķa līnija \(\omega\). No punkta \(Q\) pret taisni \(AB\) vilktais perpendikuls krusto riņķa līniju \(\omega\) punktā \(T\). Zināms, ka \(TB\) ir r.l. \(\omega\) pieskare un \(AT=TB\). Pierādīt, ka \(AB=AC\).

Par skaistu sauksim tādu naturālu skaitli, kas nedalās ne ar vienu no cipariem savā decimālajā pierakstā (neviens skaitlis nedalās ar \(0\)).

Kāds lielākais daudzums pēc kārtas sekojošu naturālu skaitļu visi var būt skaisti?

Rūtiņu lapā novietoti divi taisnstūri (var būt sakrītoši) tā, ka to malas iet pa rūtiņu malām. Teiksim, ka punkts pieder taisnstūrim, ja tas atrodas taisnstūra iekšpusē vai uz tā kontūra.

Cik no \(8\) šo divu taisnstūru virsotnēm var vienlaicīgi piederēt arī otram taisnstūrim?

Trijstūra malu garumi ir \(a, b\) un \(c\). Pierādīt, ka

\[\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c} \geq 3\]

Vai kvadrātu ar izmēriem \(9 \times 9\) rūtiņas var sadalīt \(13\) taisnstūros ar izmēriem \(2 \times 3\) rūtiņas un vienā stūrītī ?

Taisnstūris ar izmēriem \(5 \times n\) rūtiņas izkrāsots šaha galdiņa kārtībā. Vienā gājienā drīkst mainīt trīs blakus rūtiņu, kas atrodas vienā rindā vai kolonnā, krāsojumu uz pretējo. Vai, veicot šādus gājienus vairākkārt, var panākt, ka visas rūtiņas ir vienā krāsā, ja
(A) \(n=5\),
(B) \(n=3\)?

Šaurleņķu trijstūrī \(ABC\) leņķa \(BAC\) bisektrise krusto malu \(BC\) punktā \(D\). Punkti \(M\) un \(N\) ir attiecīgi malu \(AB\) un \(AC\) viduspunkti. Pierādīt, ka \(\sphericalangle MDN \geq \sphericalangle BAC\).

Dotas \(100\) kredītkartes, katrā no kurām atrodas dažādas naudas summas. Ir pieejama tāda ierīce, kurā ieliekot \(4\) kredītkartes, tā paziņo, kurā no šīm četrām kredītkartēm ir otra lielākā naudas summa.

Pierādīt, ka lietojot šo ierīci (A) \(100\) reizes, (B) \(99\) reizes, var noskaidrot, kurā no visām kredītkartēm ir lielākā naudas summa.

Trijstūrī \(ABC\) nogriežņi \(AM\) un \(CN\) ir bisektrises, un punkts \(O\) ir \(CN\) viduspunkts. Zināms, ka \(\sphericalangle ABC=90^{\circ}\) un caur punktiem \(B, M, O\) un \(N\) var novilkt riņķa līniju. Atrast \(\sphericalangle BAC\) vērtību.

Atrast visas tādas pozitīvu skaitļu virknes \(a_{1}, a_{2}, \ldots\), kurām katram \(k \geq 1\) izpildās nosacījums:

\[a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+\ldots+a_{k}^{3}=\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}\right)^{2}\]

Dots, ka \(a+b+c+d=8\).

Pierādīt, ka \(ab+ac+ad+bc+bd+cd-a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2} \leq 8\).

Doti \(n\) skaitļi \(-2 \leq x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \leq 2\), kuru summa ir \(0\). Pierādīt, ka

\[\left|x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\ldots+x_{n}^{3}\right| \leq 2 n\]

Naturāli skaitļi no \(1\) līdz \(k\) kaut kādā secībā ir uzrakstīti pa apli (katrs tieši vienu reizi). Zināms, ka katram \(d\), \(2 \leq d \leq k-1\), izpildās sekojoša īpašība: dalot ar \(k\) visas iespējamās \(d\) pēc kārtas sekojošu skaitļu summas, iegūst visus iespējamos atlikumus.

Vai ir iespējams, ka (A) \(k=7\), (B) \(k=8\)?