Atrisināt vienādojumu \(\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}=2-x^{2}-y^{2}\).

Turnīrā piedalās \(6\) komandas. Katrai ar katru citu jāspēlē tieši vienu reizi; neizšķirtu nav. Katru dienu komandas sadalās trīs pāros, un katra pāra komandas spēlē savā starpā. (Tātad katru dienu katra komanda spēlē vienu spēli.) Kāds ir mazākais dienu skaits, pēc kura var rasties situācija: jau ir skaidrs, kurai (vienīgajai) komandai pēc turnīra noslēguma būs vairāk uzvaru nekā jebkurai citai, un ir arī skaidrs, kurai (vienīgajai) komandai pēc turnīra noslēguma būs mazāk uzvaru nekā jebkurai citai?

Taisnleņķa trijstūrī \(ABC\) augstums no taisnā leņķa \(B\) virsotnes ir \(BD\). Trijstūros \(ABD\) un \(BCD\) ievilkto riņķu centri ir \(O_{1}\) un \(O_{2}\). Pierādīt, ka \(\triangle ABC\) un \(\triangle O_{1}DO_{2}\) ir līdzīgi savā starpā.

Četrciparu skaitlim pārlika ciparus citā kārtībā. Pierādīt: sākotnējā un iegūtā skaitļa starpība dalās ar \(9\).

Atrodiet kaut vienu kvadrātvienādojumu ar veseliem koeficientiem, kam viena no saknēm ir (A) \(\sqrt{2}+1\), (B) \(\sqrt{7+4 \sqrt{3}}\).

Piezīme. Katrā uzdevuma daļā runā par citu kvadrātvienādojumu.

Turnīrā piedalās \(8\) komandas. Katrai ar katru citu jāspēlē tieši vienu reizi; neizšķirtu nav. Katru dienu komandas sadalās četros pāros, un katra pāra komandas spēlē savā starpā. (Tātad katru dienu katra komanda spēlē vienu spēli.) Kāds ir mazākais dienu skaits, pēc kura var rasties situācija: jau ir skaidrs, kurai (vienīgajai) komandai pēc turnīra noslēguma būs vairāk uzvaru nekā jebkurai citai, un ir arī skaidrs, kurai (vienīgajai) komandai pēc turnīra noslēguma būs mazāk uzvaru nekā jebkurai citai?

Kādu lielāko daudzumu trijstūrīšu var iekrāsot 1.zīm. redzamajā figūrā, lai nekādiem diviem iekrāsotiem trijstūrīšiem nebūtu ne kopīga mala, ne kopīgs stūris?

Atrisināt veselos skaitļos vienādojumu \(\frac{x^{2}}{2}+\frac{5}{y}=7\).

Atrisiniet naturālos skaitļos vienādojumu sistēmu

\[\left\{ \begin{array}{ll} x^2 + y & = z^2\\ y^2 + x & = t^2 \end{array} \right.\]

Kvadrātisks režģis sastāv no \(4 \times 4\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām. Kādu lielāko daudzumu nogriežņu, kas kalpo par rūtiņu malām, var nokrāsot tā, lai nevienai no \(16\) rūtiņām nebūtu nokrāsotas visas malas?

Cik ir tādu naturālu skaitļu \(x\) robežās no \(1\) līdz \(2010\) ieskaitot, ka \((x+1)(x+2)(x+3)\) dalās ar \(343\)?

Vai var pa apli izrakstīt naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(12\) katru tieši vienu reizi tā, lai katru divu blakus uzrakstītu skaitļu starpība būtu vai nu \(1\), vai \(2\)?

Katras divas no \(6\) lampām savienotas ar baltu vai sarkanu vītni. Pierādīt: var atrast tādas \(3\) lampas, kuras visas savā starpā savienotas ar vienas krāsas vītnēm.

Ap apaļu galdu sēž zēni un meitenes, zēnu ir trīs reizes vairāk nekā meiteņu. Tādu vietu, kur blakus sēž zēns un meitene, ir divreiz mazāk nekā pārējo vietu (t.i., tādu, kur blakus sēž vai nu zēns un zēns, vai meitene un meitene). Kāds ir mazākais iespējamais bērnu skaits?

Riņķī ievilkta sešstūra \(ABCDEF\) diagonāles \(AD\), \(BE\) un \(CF\) krustojas vienā punktā. Pierādīt: sešstūra malas var sadalīt \(2\) grupās pa \(3\) malām katrā tā, ka abās grupās iekļauto malu garumu reizinājumi ir vienādi savā starpā.

Rindā no sākuma bija uzrakstīti \(2009\) vieninieki. Ar vienu gājienu nodzēš divus pirmos rindā esošos skaitļus un tās otrā galā pieraksta abu nodzēsto skaitļu summu. Šādus gājienus atkārto, līdz rindā paliek tikai viens skaitlis.

(A) cik gājienu tiks izdarīti?
(B) atrast vienīgo palikušo skaitli.

Dots, ka \(a > b > c > d\). Pierādīt, ka \(a-d+\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-d} \geq 6\).

Kad pastāv vienādība?

Pieci rūķīši sanesa savā namiņā kastes ar dārgakmeņiem. Katru kasti nesa tieši divi rūķīši. Vai var gadīties, ka katrs rūķītis piedalījās tieši triju kastu nešanā?

Vai tas varētu notikt, ja kastu nešanā piedalītos tieši četri rūķīši?

Trijstūrī \(ABC\) divas malas ir vienādas savā starpā, un \(\sphericalangle ABC=20^{\circ}\). Pierādiet, ka \(3 \cdot AC > AB\).

Vai eksistē tādi skaitļi \(a_{1}, \quad b_{1}, \quad c_{1}, \quad a_{2}, \quad b_{2}, \quad c_{2}, \quad\) ka vienādība \(\left(x^{2}+y^{2}+1\right)=\left(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}\right)\left(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}\right)\) ir identitāte?

Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(a\) un \(b\), ka 1) \(a \cdot 17-b \cdot 13=1\) 2) \(a \cdot 39-b \cdot 91=2\)?

Dots, ka \(p\) un \(q\) ir naturāli skaitļi un kvadrātvienādojuma \(x^{2}+px+q=0\) saknes ir \(x_{1}\) un \(x_{2}\). Pierādīt, ka

(A) \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\),
(B) \(x_{1}^{8}+x_{2}^{8}\),
(C) \(x_{1}^{5}+x_{2}^{5}\)
ir vesels skaitlis.

Aplīšos 1.zīm jāizvieto pa vienam naturālam skaitlim no \(1\) līdz \(10\) (tiem visiem jābūt dažādiem) tā, lai katra bultiņa ietu no mazāka skaitļa uz lielāku skaitli. Cik dažādu izvietojumu var izveidot?

Seši rūķīši katrs uzzinājuši vienu jaunu ziņu (katrs citu). Katram mājās ir telefons, un viena saruna ilgst vienu stundu. Tās laikā abi runātāji pagūst viens otram izstāstīt visus jaunumus.

Kāds ir mazākais stundu skaits, kuru laikā visi rūķīši var uzzināt visus jaunumus?

Dots, ka \(a\) un \(b\) ir naturāli skaitļi, \(a^{2}\) dalās ar \(b\) un \(b^{2}\) dalās ar \(a\). Pierādīt, ka \((a-b)^{3}\) dalās ar \(a \cdot b\). Vai noteikti \((a-b)^{2}\) dalās ar \(a \cdot b\)?

Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu \(x^{3}=y!+2\).

Šaurleņķu trijstūra \(ABC\) iekšpusē dots punkts \(P\). Pierādīt: \(P\) attālumu summa līdz \(ABC\) malām nav garāka par \(ABC\) lielāko augstumu.

Tabula sastāv no \(5 \times 5\) kvadrātiskām rūtiņām. Vai var katrā rūtiņā ierakstīt pa naturālam skaitlim tā, lai vienlaicīgi 1) visu ierakstīto skaitļu summa būtu nepāra skaitlis, 2) katrā tādā figūrā, kāda attēlota 3.zīm. (tā var būt novietota arī citādi), ierakstīto skaitļu summa arī būtu nepāra skaitlis?

(A) dots, ka \(x+y=n\). Pierādīt, ka \(x^{2}+y^{2} \geq \frac{n^{2}}{2}\).

(B) dots, ka \(x+y+z=n\). Pierādīt, ka \(x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq \frac{n^{2}}{3}\).

Kuru no skaitļiem \(102^{2} \cdot 103^{2} \cdot \ldots \cdot 199^{2}\) un \(\left(102^{2}-1\right)\left(103^{2}-1\right) \ldots\left(199^{2}-1\right)\) sadalot pirmskaitļu reizinājumā, iegūst vairāk dažādu pirmskaitļu? Par cik vairāk?

(Paskaidrojums: \(24=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\) satur divus dažādus pirmskaitļus- \(2\) un \(3\).)

Dots, ka \(ABCD\) ir izliekts četrstūris, kas nav paralelograms. Taisne, kas novilkta caur diagonāļu viduspunktiem, krusto malas \(AB\) un \(CD\) attiecīgi iekšējos punktos \(M\) un \(N\). Pierādīt, ka trijstūru \(ABN\) un \(CDM\) laukumi ir vienādi savā starpā.

Regulārā \(20\)-stūrī katrā virsotnē ir pa vienai monētai. Ar vienu gājienu var izvēlēties \(2\) monētas un tās pārbīdīt: vienu uz blakus virsotni pulksteņa rādītāja kustības virzienā, otru uz blakus virsotni pretēji pulksteņa rādītāja kustības virzienam. Vai, atkārtojot šādus gājienus, var savākt visas monētas

(A) \(4\) kaudzēs pa \(5\) monētām katrā, (B) \(5\) kaudzēs pa \(4\) monētām katrā?

Dots, ka \(n\) - naturāls skaitlis, kas nedalās ar \(5\). Kāda ir mazākā iespējamā ciparu summa skaitlim \(\left(n^{2}-1\right)\left(n^{2}-4\right)+7\)? Pie kādām \(n\) vērtībām tā tiek sasniegta?

Klases šaha turnīrā piedalās \(10\) dalībnieki; katrs spēlē ar katru vienu reizi. Par uzvaru piešķir \(1\) punktu, par neizšķirtu \(1 / 2\) punkta, par zaudējumu \(0\) punktus. Nolemts, ka klases lielmeistara nosaukumu piešķirs tiem, kas izcīnīs vismaz \(7\) punktus. Kāds lielākais skolēnu skaits šajā turnīrā var iegūt lielmeistara nosaukumu?

Dots, ka \(x^{3}=y^{4}\) un \(x^{11}=y^{15}\). Atrast \(x\) un \(y\), ja tie ir pozitīvi skaitļi.

Deviņi rūķīši katrs uzzinājuši vienu jaunu ziņu (katrs citu). Katram mājās ir telefons, un viena saruna ilgst vienu stundu. Tās laikā abi runātāji pagūst viens otram izstāstīt visus jaunumus.

Kāds ir mazākais stundu skaits, kuru laikā visi rūķīši var uzzināt visus jaunumus?

Andris pieraksta datumu kā naturālu skaitli, bez atstarpes rakstot vienu aiz otra dienas numuru mēnesī un mēneša numuru gadā. Piemēram, \(2.\) jūliju viņš pieraksta kā \(27\), bet \(18.\) septembri- kā \(189\).

Cik ir tādu naturālu skaitļu, kas ir vairāk nekā viena datuma pieraksti Andra sistēmā?

Divas riņķa līnijas krustojas. To rādiusu garumi ir \(R\) un \(r\), bet attālums starp to centriem ir \(d\). Vienā no abu riņķa līniju krustpunktiem tām abām novilktas pieskares. Pierādīt: šīs pieskares ir perpendikulāras viena otrai tad un tikai tad, ja \(R^{2}+r^{2}=d^{2}\)

Kvadrāts sastāv no \(5 \times 5\) rūtiņām. Vai to var sagriezt \(5\) gabalos, lai viens būtu tāds, kāds redzams 2.zīm, bet pārējie četri būtu savā starpā vienādi?

Astoņi rūķīši katrs uzzinājuši vienu jaunu ziņu (katrs citu). Katram mājās ir telefons, un viena saruna ilgst vienu stundu. Tās laikā abi runātāji pagūst viens otram izstāstīt visus jaunumus.

Kāds ir mazākais stundu skaits, kuru laikā visi rūķīši var uzzināt visus jaunumus?