Katrīna uzrakstīja trīsciparu skaitli \(n\), kura visi cipari ir dažādi un visi atšķiras no \(0\). Maija uzrakstīja visus piecus citus trīsciparu skaitļus, kas izveidoti no tiem pašiem cipariem, no kā sastāv \(n\). Maijas uzrakstīto skaitļu summa ir \(3434\). Kāds var būt skaitlis \(n\)?

Trīs vienādas riņķa līnijas krustojas punktā \(P\). Apzīmējam riņķa līniju centrus un divus no pārējiem krustpunktiem, kā parādīts 2.zīm. Pierādīt, ka \(MNCB\) ir paralelograms.

Naturālu skaitli sauc par vienkāršu, ja tas ir divu (vienādu vai dažādu) pirmskaitļu reizinājums. Piemēram, \(9=3 \cdot 3\) ir vienkāršs, bet \(18=2 \cdot 3 \cdot 3-\) nav. Kāds lielākais daudzums pēc kārtas sekojošu naturālu skaitļu var visi būt vienkārši?

Turnīrā piedalās \(12\) tenisisti. Katrs ar katru citu spēlē tieši vienu reizi; katrā spēlē viens no tās dalībniekiem uzvar, bet otrs - zaudē. Teiksim, ka tenisists \(A\) ir spēcīgāks par tenisistu \(B\), ja vai nu \(A\) uzvarējis pret \(B\), vai arī var atrast tādu trešo tenisistu \(C\), ka \(A\) uzvarējis pret \(C\), bet \(C\) uzvarējis pret \(B\). Par čempionu sauc jebkuru tādu tenisistu, kurš turnīra noslēgumā izrādās spēcīgāks par jebkuru citu. Pierādīt:

(A) katrs tenisists, kam turnīra noslēgumā ir vislielākais uzvaru skaits, ir čempions,

(B) nevar būt, ka turnīra noslēgumā ir tieši divi (ne vairāk un ne mazāk) čempioni.

Atrisināt vienādojumu

\[x^{3}(x+1)=2(x+a)(x+2a)\]

Uz kādas planētas izmanto \(2009\) valodas. Vai var izveidot vārdnīcu sistēmu tā, lai vienlaicīgi izpildītos \(3\) īpašības:

(A) katra vārdnīca ļauj tulkot no vienas valodas uz kādu citu, bet ne pretējā virzienā,

(B) ja ir vārdnīca, kas ļauj tulkot no kādas valodas \(A\) uz kādu citu valodu \(B\), tad nav vārdnīcas, kas ļauj tulkot no \(B\) uz \(A\),

(C) no katras valodas uz katru citu var pārtulkot, izmantojot vai nu vienu, vai divas vārdnīcas? (Pieļaujamas vairākkārtīgas tulkošanas, piemēram, no \(A\) un \(B\) un tālāk no \(B\) uz \(C\).)

Turnīrā piedalījās \(12\) tenisisti. Katrs ar katru citu spēlēja tieši vienu reizi; katrā spēlē viens no tās dalībniekiem uzvarēja, bet otrs zaudēja. Dalībnieku uzvaru un zaudējumu daudzumus apzīmēsim attiecīgi ar \(x_{1}\) un \(y_{1};\ x_{2}\) un \(y_{2};\ \ldots;\ x_{12}\) un \(y_{12}\). Pierādīt, ka

\[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{12}^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\ldots+y_{12}^{2}\]

Atrast skaitļu \(3^{3}-3; \quad 5^{5}-5; \quad 7^{7}-7; \ldots; 2009^{2009}-2009\) lielāko kopīgo dalītāju.

Plakne sadalīta vienādos kvadrātiņos kā rūtiņu lapa. Katrs kvadrātiņš nokrāsots vienā no \(k\) krāsām. Ir zināms: katrā tādā figūrā, kāda redzama 1.zīm. (šī figūra var būt arī pagriezta vai apgriezta "uz mutes"), visas rūtiņas nokrāsotas dažādās krāsās. Kāda ir mazākā iespējamā \(k\) vērtība?

Atrisināt vienādojumu sistēmu

\[\left\{\begin{array}{l} x+y^{2}=y^{3} \\ y+x^{2}=x^{3} \end{array}\right.\]

reālos skaitļos.

Maija uz katras no \(16\) kartītēm uzrakstījusi " \(+1\) " vai " \(-1\) ". Kartītes novietotas uz galda tā, ka Andris pašas kartītes gan redz, bet uz tām uzrakstītos skaitļus neredz. Andris ar vienu jautājumu var norādīt uz jebkurām trim kartītēm un uzzināt no Maijas uz tām uzrakstīto skaitļu reizinājumu. Ar kādu mazāko jautājumu skaitu Andrim pietiek, lai noskaidrotu visu \(16\) skaitļu reizinājumu? Vai \(17\) kartǐšu gadījumā Andrim pietiek ar \(7\) jautājumiem?

Dots, ka \(ABCD\) ir kvadrāts un \(E\) ir malas \(AB\) iekšējs punkts. Nogriežņi \(AC\) un \(DE\) krustojas punktā \(P\). Perpendikuls, kas no \(P\) vilkts pret \(DE\), krusto malu \(BC\) punktā \(F\). Pierādīt, ka \(EF=AE+FC\).

Dots, ka četrstūris \(ABCD\) ievilkts riņķa līnijā. Pierādīt: trijstūros \(ABC,\ BCD,\ CDA,\ DAB\) ievilkto riņķa līniju centri ir taisnstūra virsotnes.

Dots, ka \(a\) ir tāds reāls skaitlis, ka kvadrātvienādojumam \(x^{2}-x+a=0\) ir divas dažādas reālas saknes \(x_{1}\) un \(x_{2}\). Pierādīt: \(\left|x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right|=1\) tad un tikai tad, ja \(\left|x_{1}^{3}-x_{2}^{3}\right|=1\).

Andris uzrakstījis \(10\) dažādus veselus pozitīvus skaitļus; neviens no tiem nepārsniedz \(37\). Pierādīt, ka Maija var izvēlēties četrus no Andra uzrakstītajiem skaitļiem tā, ka divu Maijas izvēlēto skaitļu summa vienāda ar abu pārējo Maijas izvēlēto skaitļu summu.

Dots, ka \(ABCD\) - kvadrāts un \(\sphericalangle MBN=45^{\circ}\) (skat. 3.zīm.). Pierādīt, ka \(BO \perp MN\).

Apskatām skaitļu virkni \(F_{1}=1;\ F_{2}=2;\ F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}\) pie \(n \geq 1\). Kāds lielākais šīs virknes elementu daudzums var veidot vienu aritmētisku progresiju?

Kādas vērtības var pieņemt izteiksme \(S=\frac{|x+y|}{|x|+|y|}+\frac{|x+z|}{|x|+|z|}+\frac{|y+z|}{|y|+|z|}\), ja \(x, y, z\) - no nulles atšķirīgi reāli skaitļi?

Šaurleņķu trijstūrī \(ABC\) nogriežņi \(AA_{1}\) un \(BB_{1}\) ir augstumi, \(H\) ir augstumu krustpunkts, punkti \(M, N\) un \(K\) ir attiecīgi nogriežņu \(AB\), \(AH\) un \(BH\) viduspunkti. Pierādīt, ka \(\Delta MKA_{1}=\Delta B_{1}NM\).

Apskatām virkni, kas augošā secībā satur visus naturālos skaitļus, kuri nedalās ar \(3\). Virknes sākums tātad ir

\[1;\ 2;\ 4;\ 5;\ 7;\ 8;\ 10;\ 11;\ \ldots\]