Regulāra \(n\)-stūra virsotnēs ierakstīti naturāli skaitļi no \(1\) līdz \(n\) (katrā virsotnē cits skaitlis) ar īpašību: ja \(A,\ B\, C\) - trīs \(n\)-stūra virsotnes un \(AB=AC\), tad virsotnē \(A\) ierakstītais skaitlis vai nu lielāks par abiem skaitļiem, kas ierakstīti virsotnēs \(B\) un \(C\), vai arī mazāks par tiem abiem.

Vai var būt, ka (A) \(n=8\), (B) \(n=7\), (C) \(n=10\), (D) \(n=16\)?

Caur trijstūrī \(ABC\) ievilktās riņķa līnijas centru \(I\) novilkta taisne \(t\) tā, kā parādīts 1.zīm. Tā dala trijstūra laukumu uz pusēm. Pierādīt, ka tā dala uz pusēm arī trijstūra perimetru.

Riņķa līnija iet caur regulāra trijstūra \(ABC\) virsotni \(B\) un krusto tā malas, kā parādīts 2.zīm. Pierādīt, ka \(AM+CL=AN+CK\).

Trijstūrī \(ABC\) divas malas ir vienādas savā starpā, un \(\sphericalangle ABC=20^{\circ}\). Pierādiet, ka \(3 \cdot AC>AB\).

Pierādīt, ka visiem reāliem skaitļiem \(x\) un \(y\) pastāv nevienādība

\[\cos \left(x^{2}\right)+\cos \left(\mathrm{y}^{2}\right)-\cos (xy)<3\]

Figūra, kas attēlota 1.zīm., sastāv no vienādām kvadrātiskām rūtiņām. Vai to var sagriezt divos gabalos tā, lai no šiem gabaliem varētu salikt vienu kvadrātu? Griezumiem jāiet pa rūtiņu līnijām; gabali saliekot nedrīkst pārklāties un saliktā kvadrāta iekšpusē nedrīkst palikt tukšumi.

Atrodiet mazāko naturālo skaitli, kuru var izsacīt gan kā \(11\), gan kā \(12\), gan kā \(13\) pēc kārtas ņemtu naturālu skaitļu summu.

Skaitļi \(a,\ b,\ c\) visi nav vienādi savā starpā. Pierādiet, ka \(a^{2}+b^{2}+c^{2} \neq ab+ac+bc\).

Andris pieraksta datumu kā naturālu skaitli, bez atstarpes rakstot vienu aiz otra dienas numuru mēnesī un mēneša numuru gadā. Piemēram, 2.jūliju viņš pieraksta kā \(27\), bet 18.septembri - kā \(189\).

Cik ir tādu naturālu skaitļu, kas ir vairāk nekā viena datuma pieraksti Andra sistēmā?

Kvadrāts sastāv no \(5 \times 5\) vienādām baltām kvadrātiskām rūtiņām. Vai var nokrāsot melnā krāsā (A) \(1\) rūtiņu, (B) \(4\) rūtiņas tā, lai katrā no \(3 \times 3\) rūtiņām sastāvošā kvadrātā būtu tieši viena melna rūtiņa?

Maijai bija vairāki akmeņi. Viņa tos visus kaut kā sadalīja pa sviras svaru abiem kausiem; svari nostājās līdzsvarā. Pēc tam viņa visus akmeņus sadalīja pa kausiem citādi; svari atkal nostājās līdzsvarā. Trešajā svēršanas reizē Maija uz kreisā svaru kausa atstāja tieši tos akmeņus, kas tur bija abās iepriekšējās reizēs, un līdzīgi uz labā kausa - tieši tos akmeņus, kas tur bija abās iepriekšējās reizēs. Pierādiet, ka svari atkal nostāsies līdzsvarā.

Atrodiet skaitļa \(113^{113}-19^{19}\) pēdējo ciparu.

Regulāra trijstūra \(ABC\) virsotne \(B\) atrodas uz riņķa līnijas; tā malu pagarinājumi krusto riņķa līniju, kā parādīts 3.zīm. Pierādīt, ka \(AM+CL=AN+CK\).

Pieci rūķīši sanesa savā namiņā kastes ar dārgakmeņiem. Katru kasti nesa tieši divi rūķīši. Vai var gadīties, ka katrs rūķītis piedalījās tieši triju kastu nešanā?

Vai tas varētu notikt, ja kastu nešanā piedalītos tieši četri rūķīši?

Pieņemsim, ka \(n \geqq 3\), \(n\) - naturāls skaitlis. Aplūkosim patvaļīgu \(n\) cilvēku grupu.

(A) pierādīt, ka šajā grupā var atrast divus tādus cilvēkus \(A\) un \(B\), kam starp pārējiem ir vienādi paziņu daudzumi,

(B) rūķītis Muriburis apgalvo: katriem diviem šīs grupas cilvēkiem \(A\) un \(B\), kam šajā grupā paziņu daudzumi ir vienādi, var atrast vai nu tādu cilvēku \(C\), kas pazīst gan \(A\), gan \(B\), vai arī tādu cilvēku \(D\), kas nepazīst ne \(A\), ne \(B\). Vai Muriburis runā patiesību, ja \(n=4\)? Bet ja \(n=2009\)?

\(\underline{Piezīme:}\) uzskatām, ka neviens nepazīst pats sevi un, ja \(X\) pazīst \(Y\), tad arī \(Y\) pazīst \(X\).

Andrim ir figūriņas, kas sastāv no vienādiem kvadrātiņiem (skat. 2.zīm.) - pa \(10\) katra veida.

Vai viņš var salikt kvadrātu \(7 \times 7\) rūtiņas, izmantojot (A) \(12\) figūriņas; (B) \(14\) figūriņas? Figūriņas nedrīkst pārklāties.

Naturālam skaitlim \(a\) ir tieši \(4\) dalītāji, bet naturālam skaitlim \(b\) - tieši \(6\) dalītāji.
(A) Pierādiet, ka reizinājumam \(ab\) ir vismaz \(9\) dalītāji. (B) Vai var gadīties, ka šim reizinājumam ir tieši \(9\) dalītāji?

(Piezīme: apskatām tikai tādus dalītājus, kas paši ir naturāli skaitļi. Pie skaitļa dalītājiem pieskaita gan viņu pašu, gan vieninieku.)

Trijstūrī \(ABC\) ar \(h_{a}\), \(h_{b}\) un \(h_{c}\) apzīmēti to augstumu garumi, kas vilkti attiecīgi no virsotnēm \(A,\ B,\ C\). Dots, ka \(h_{a} \geq 5,\ h_{b} \geq 12,\ h_{c} \geq 13\).

Kāds ir mazākais iespējamais \(\triangle ABC\) laukums?

Atrisināt vienādojumu \(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+4=2 \cdot(\sqrt{2x}+1+\sqrt{2y+1})\) pozitīvos reālos skaitļos.

Kurus naturālos skaitļus \(n\) var izsacīt formā \(n=\frac{x}{y}\), kur \(x=a^{3}, y=b^{5}\), \(a\) un \(b\) naturāli skaitļi?

Telpā doti \(7\) punkti; nekādi \(3\) no tiem neatrodas uz vienas taisnes un nekādi \(4\) neatrodas vienā plaknē. Katri divi punkti savienoti ar baltu vai sarkanu nogriezni. Pierādīt: ir vismaz divi trijstūri, katram no kuriem visas \(3\) malas ir nokrāsotas vienādi (varbūt vienam trijstūrim tās visas ir baltas, bet otram sarkanas).

Dots, ka \(a\) un \(b\) ir naturāli skaitļi, \(a^{2}\) dalās ar \(b\) un \(b^{2}\) dalās ar \(a\). Pierādīt, ka \((a+b)^{3}\) dalās ar \(a \cdot b\). Vai noteikti \((a+b)^{2}\) dalās ar \(a \cdot b\)?

Divas riņķa līnijas krustojas. To rādiusu garumi ir \(R\) un \(r\), bet attālums starp to centriem ir \(d\). Vienā no abu riņķa līniju krustpunktiem tām abām novilktas pieskares. Pierādīt: šīs pieskares ir perpendikulāras viena otrai tad un tikai tad, ja \(R^{2}+r^{2}=d^{2}\).

Rindā no sākuma bija uzrakstīti \(2009\) vieninieki. Ar vienu gājienu nodzēš divus pirmos rindā esošos skaitļus un tās otrā galā pieraksta abu nodzēsto skaitļu summu. Šādus gājienus atkārto, līdz rindā paliek tikai viens skaitlis.

(A) cik gājienu tiks izdarīti?

(B) atrast vienīgo palikušo skaitli.

Maijai bija \(7\) kartītes; uz katras no tām uzrakstīts pa ciparam, kas nepārsniedz \(5\). Viņa salika no kartītēm septiņciparu skaitli \(A\), bet pēc tam - citu septiņciparu skaitli \(B\) un saskaitīja abus iegūtos skaitļus.

Vai var gadīties, ka summa arī ir septiņciparu skaitlis un visi cipari tajā ir nepāra?

Telpā doti \(4\) punkti, kas visi neatrodas vienā plaknē. Cik ir paralēlskaldņu, kam visi šie punkti ir virsotnes?

Dots, ka \(p\) ir pirmskaitlis un \(n=\left(p^{2}-1\right)\left(p^{2}-4\right)+9\). Kāda ir mazākā iespējamā \(n\) ciparu summa? Kuriem \(p\) tā tiek sasniegta?

Atrisināt veselos skaitļos vienādojumu \(\frac{x^{2}}{2}+\frac{5}{y}=7\).

Sprīdītis ceļo triju rūķīšu pavadībā. Viņš zina, ka divi rūķīši vienmēr runā patiesību, bet trešais rūķītis dažreiz melo. Sprīdītis nezina, kurš rūķītis ir "neuzticams". Kādā brīdī Sprīdītis var izvēlēties vienu no trim ceļiem. Viņš zina, ka pa vienu no ceļiem dienas gājiena attālumā atrodas Laimīgā Zeme. Tomēr ne viņš, ne rūķīši nezina, kurš ir šis ceļš. Kā Sprīdītis var nokļūt Laimīgajā Zemē, patērējot ceļā ne vairāk kā \(3\) dienas?

Pieņemam, ka visas pārrunas notiek momentāni.

(Piezīme. Ja nespējat tikt galā \(3\) dienās, aprakstiet "visekonomiskāko" no Jūsu atrastajiem plāniem.)

Tabulā (skat. 4.zīm.) Katrīnai jāizvēlas \(4\) rūtiņas tā, ka katrā rindā un katrā kolonnā tika izvēlēta tieši viena rūtiņa. Pierādiet: neatkarīgi no tā, kuras \(4\) rūtiņas saskaņā ar šiem noteikumiem Katrīna izvēlēsies, tajās ierakstīto skaitļu summa būs \(64\).

Kvadrātiska režģa formā izvietotas \(100\) spuldzes. Katra spuldze var būt vai nu ieslēgta, vai izslēgta. Pieskaroties jebkurai spuldzei (apzīmēsim to ar \(A\)), tā maina savu stāvokli (no ieslēgta uz izslēgtu vai otrādi). Vienlaicīgi savu stāvokli maina arī visas tās spuldzes, kuras ar \(A\) ir vai nu vienā rindā, vai vienā kolonnā.

Sākumā visas spuldzes ir izslēgtas. Ar kādu mazāko pieskārienu skaitu var panākt, lai tās vienlaicīgi visas būtu ieslēgtas?

Kvadrāts sastāv no \(4 \times 4\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām. Divas rūtiņas sauc par kaimiņu rūtiņām, ja tām ir kopīga mala.

Vai var rūtiņās ierakstīt naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(16\), katru tieši vienu reizi, lai katrs no astoņiem ierakstītiem skaitļiem būtu mazāks par visās savās kaimiņu rūtiņām ierakstītajiem, bet katrs no astoņiem pārējiem skaitļiem būtu lielāks par visās savās kaimiņu rūtiņās ierakstītajiem?

Kvadrātiska režģa veidā izvietoti \(16\) punkti (skat. 3.zīm.). Kādu lielāko daudzumu punktu var nokrāsot sarkanus tā, lai nekādi divi nogriežņi, kam abi gali ir sarkani, viens gals kopīgs un kas vērsti kādā no bultiņu attēlotajiem virzieniem, nebūtu perpendikulāri viens otram?

Vai var uzrakstīt piecciparu skaitli, lietojot pa vienai reizei ciparus \(1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5\), lai vienlaicīgi izpildītos šādas īpašības:

(A) izsvītrojot ciparu \(1\), atlikušais skaitlis dalītos ar \(1\),

(B) izsvītrojot ciparu \(2\), atlikušais skaitlis dalītos ar \(2\),

(C) izsvītrojot ciparu \(3\), atlikušais skaitlis dalītos ar \(3\),

(D) izsvītrojot ciparu \(4\), atlikušais skaitlis dalītos ar \(4\),

(E) izsvītrojot ciparu \(5\), atlikušais skaitlis dalītos ar \(5\)?

Vai var uzrakstīt sešciparu skaitli ar tādām pašām \(5\) īpašībām, lietojot pa vienai reizei ciparus \(0;\ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5\)?

Kvadrātvienādojumam \(x^{2}+px+q=0\) ir divas dažādas saknes, kas abas pieder intervālam \([-1; 1]\). Pierādīt, ka katram reālam skaitlim \(x\) pastāv nevienādība \(x^{2}+px+q \geq-1\)

Atrisināt nevienādību \(|||2-x|-x|-9| \leq 2009\).

Dotas \(200\) pēc ārējā izskata vienādas monētas. Puse no tām sver pa \(100\) gramiem katra, puse - pa \(101\) gramu katra. Doti sviras svari bez atsvariem. Jāizveido divas monētu kaudzītes, lai to svari atšķirtos, bet monētu daudzumi tajās būtu vienādi. Ar kādu mazāko svēršanu skaitu Jūs to spējat izdarīt?

(Piezīme. Nav jācenšas pierādīt, ka Jūsu sasniegtais svēršanu skaits ir mazākais iespējamais.)

Atrisināt vienādojumu \(\sqrt{x-1}+2 \sqrt{y-4}+3 \sqrt{z-9}=\frac{1}{2}(x+y+z)\) reālos skaitļos.

Vai var pa apli izrakstīt naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(12\) katru tieši vienu reizi tā, lai katru divu blakus uzrakstītu skaitļu starpība būtu:

(A) vismaz \(5\),

(B) vismaz \(6\)?

Kuri četrciparu naturāli skaitļi vienādi ar savu divu pēdējo ciparu veidotā naturālā skaitļa kvadrātu?