Profesors Cipariņš ar savu ārzemju kolēģi ieradās Ziemassvētku eglītes pasākumā, kurā piedalījās universitātes darbinieki, viņu draugi, ģimenes locekļi, paziņas utt. Norādot uz trim viesiem, Cipariņš piezīmēja: "Šo cilvēku vecumu reizinājums ir \(2450\), bet summa - divas reizes lielāka nekā Jūsu vecums." Kolēģis atteica: "Es nezinu un nevaru noskaidrot, cik veci ir šie ļaudis." Tad Cipariņš piebilda: "Es esmu vecāks par jebkuru citu šai eglītē." Tagad kolēģis uzreiz pateica minēto \(3\) viesu vecumus. Cik gadu tai laikā bija Cipariņam un cik - viņa kolēgim? (Visus vecumus izsaka veselos gados.)

Pieņemsim, ka 9.zīm. attēlotās līknes ir kvadrātfunkciju grafiki. Vai tie var būt funkciju

\(y=ax^{2}+2bx+c\),

\(y=bx^{2}+2cx+a\) un

\(y=cx^{2}+2ax+b\) grafiki?

Trijstūris \(ABC\) ir šaurleņķu. Trijstūri \(AMB\) un \(BNC\) abi ir vienādmalu un atrodas ārpus \(\triangle ABC\). Pierādīt, ka \(AN=CM\).

Pieņemsim, ka 7.zīm. attēlotās līknes ir kvadrātfunkciju grafiki.

Vai tie var būt funkciju \(y=ax^{2}+bx+c\), \(y=bx^{2}+cx+a\) un \(y=cx^{2}+ax+b\) grafiki?

Četrstūris \(ABCD\) ir ievilkts riņķa līnijā. Zināms, ka \(AB \cdot CD=AD \cdot BC\) Diagonāles \(AC\) viduspunkts ir \(M\). Pierādīt, ka \(\sphericalangle ABM=\sphericalangle DBC\).

Dots, ka \(ABC\) ir šaurleņķu trijstūris un \(I\) ir tajā ievilktās riņķa līnijas centrs. Riņķa līnija \(\omega_{1}\) iet caur \(B\) un \(I\) un pieskaras \(\sphericalangle ACB\) bisektrisei. Riņķa līnija \(\omega_{2}\) iet caur \(C\) un \(I\) un pieskaras \(\sphericalangle ABC\) bisektrisei. Pierādīt, ka viens no \(\omega_{1}\) un \(\omega_{2}\) krustpunktiem atrodas uz \(\triangle ABC\) apvilktās riņķa līnijas.

Vairākiem rūķīšiem ir vienādi naudas daudzumi. Brīdi pa brīdim kāds no rūķīšiem paņem daļu savas naudas un sadala to pārējiem vienādās daļās. Pēc kāda laika izrādījās, ka vienam no rūķīšiem ir \(8\) dālderi, bet citam - \(25\) dālderi. Cik pavisam ir rūķīšu? (Dālderis ir vienīgā rūķīšiem pieejamā naudas vienība.)

Kvadrāts sastāv no \(4 \times 4\) rūtiņām Divas rūtiņas sauc par kaimiņu rūtiņām, ja tām ir kopēja mala vai kopējs stūris. Tieši \(6\) rūtiņas nokrāsotas melnas; pārējās ir baltas.

Vai var gadīties, ka vienai melnai rūtiņai ir tieši \(1\) balts kaimiņš, vienai melnai rūtiņai - tieši \(2\) balti kaimiņi, \(\ldots\) , vienai melnai rūtiņai - tieši \(6\) balti kaimiņi?

Uz tāfeles bija uzrakstīti \(4\) naturāli skaitļi (starp tiem var būt arī vienādi). Zane pieskaitīja katram no tiem vieninieku.

Vai Zanes iegūto skaitļu reizinājuma dalījums ar sākumā uzrakstīto skaitļu reizinājumu var būt (A) \(12\), (B) \(18\)?

Dots, ka \(x, y, z\) - pozitīvi skaitļi un \(xy+yz+zx>x+y+z\). Pierādīt, ka \(x+y+z>3\)

Katram no diviem kubiņiem uz katras no sešām skaldnēm uzrakstīts pa ciparam. Teiksim, ka divciparu skaitli \(n\) var attēlot ar kubiņu palīdzību, ja vienam kubiņam uz kādas skaldnes ir skaitļa \(n\) pirmais cipars, bet otram kubiņam uz kādas skaldnes ir skaitļa \(n\) otrais cipars. Piemēram, ja vienam kubiņam uz kādas skaldnes ir \(5\), bet otram kubiņam - \(7\), tad var attēlot gan \(57\), gan \(75\).

Pieņemsim, ka ar kubiņu palīdzību var attēlot katru divciparu skaitli no \(10\) līdz \(x\) ieskaitot. Kāda ir lielākā iespējamā \(x\) vērtība? (Piezīme: ciparu \(6\) nedrīkst izmantot, lai attēlotu ciparu \(9\), un otrādi.)

Uz riņķa līnijas atzīmēti vairāki punkti. Katram punktam jāpieraksta viens no burtiem \(A;\ B;\ C;\ D;\ E;\ F\) tā, lai katri divi dažādi burti kaut vienā vietā uz riņķa līnijas atrastos blakus (vienalga kādā secībā).

(A) pierādīt, ka vajag vismaz \(15\) punktus,

(B) pierādīt, ka vajag vismaz \(18\) punktus,

(C) vai ar \(18\) punktiem pietiek?

Spēlē OP! piedalās \(n\) spēlētāji (\(n \geq 2\)). Spēle notiek vairākas dienas. Katru dienu viens spēlētājs uzvar, bet pārējie zaudē. Sakaņā ar noteikumiem \(i\)-tajā dienā (\(i=1,2, \ldots\)) uzvarētājs saņem \(i(n-1)\) punktus, bet katrs zaudētājs zaudē pa \(i\) punktiem. Spēles sākumā visiem ir pa \(0\) punktiem. Pēc kāda mazākā dienu skaita var gadīties, ka visiem atkal ir pa \(0\) punktiem?

Uz taisnes \(t\) novietots stienītis ar garumu \(1\). Sākumā tā gali atrodas punktos \(A\) un \(B\). Stienīti bīda pa plakni tā, ka tas visu laiku paliek paralēls taisnei \(t\) un beigās atkal nonāk uz \(t\); šai brīdī tā gali atrodas punktos \(C\) un \(D\). Turklāt ceļiem, pa kuriem kustas stienīša gali, nav kopīgu punktu. Vai var gadities, ka \(AC>2009\)? (Piezīme: uzskatām, ka stienītis ir paralēls \(t\) arī tad, ja tas atrodas uz \(t\))

Dots, ka \(p\) un \(q\) ir divi viens otram sekojoši nepāra pirmskaitļi (piemēram, \(13\) un \(17\)). Pierādīt: skaitli \(p+q\) var sadalīt triju tādu naturālu skaitļu reizinājumā, kas visi lielāki par \(1\) (starp šiem trim skaitļiem var būt arī vienādi).

Dots, ka \(a\) un \(b\) - naturāli skaitļi un skaitļa \(S=a^{2}+ab+b^{2}\) pēdējais cipars ir \(0\). Kāds ir skaitļa \(S\) priekšpēdējais cipars?

Andris nosauc Maijai trīs dažādus ciparus. Pierādiet: Maija, neizmantojot citus ciparus kā Andra nosauktos, var uzrakstīt veselu skaitli (viencipara, divciparu vai trīsciparu), kurā nav vienādu ciparu un kas dalās ar \(3\).

Kvadrātisks režģis sastāv no \(3 \times 3\) rūtiņām (skat. 1.zīm.)

(A) vai to var uzzīmēt, novelkot \(8\) tādas līnijas, kāda attēlota 2.zīm.? Līnija var būt novietota arī citādi.

(B) vai to var uzzīmēt, novelkot \(3\) līnijas, katru ar garumu 8? (Rūtiņas malas garums ir \(1\).)

Dots, ka \(x\) un \(y\) - tādi naturāli skaitļi, ka \(x \cdot y=10^{20}\). Vai var būt, ka ne \(x\), ne \(y\) nesatur savā pierakstā nevienu ciparu \(0\)?

Dots, ka \(|a| \geq |b+d|\), \(|b| \geq |c+a|\) un \(|d| \geq |a+b|\). Pierādīt, ka \(a+b+c=0\).

Vienādojumam \(x^{2}+px+q=0\) ir divas dažādas saknes \(x_{1}\) un \(x_{2}\). Vai var gadīties, ka

(A) \(0<p<q<x_{1}<x_{2}\)?
(B) \(x_{1}<q<p<x_{2}\)?

Tabula sastāv no \(3 \times 3\) rūtiņām. Rūtiņās ierakstīti naturāli skaitļi no \(1\) līdz \(9\) (katrā rūtiņā cits skaitlis). Skaitļu summas rindās un kolonnās visas ir dažādas.

Kāds lielākais daudzums šo summu var būt pirmskaitļi?

Dots, ka \(a,\ b,\ c,\ d\) - pozitīvi skaitļi. Pierādīt, ka \(\frac{a+c}{a+b}+\frac{b+d}{b+c}+\frac{c+a}{c+d}+\frac{d+b}{d+a} \geq 4\).

Kvadrāts sastāv no \(8 \times 8\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām. Katra no tām izkrāsota vai nu balta, vai melna. Ar vienu gājienu atļauts izvēlēties jebkuras \(3\) rūtiņas, kas veido 8.zīm. parādīto figūru (tā var būt novietota arī citādi), un mainīt krāsu uz pretējo visās šīs figūras rūtiņās. Vai, atkārtojot šādus gājienus, var panākt, lai viss kvadrāts kļūtu balts, ja

(A) sākotnējais krāsojums ir šaha galdiņa izskatā,

(B) sākotnējais krāsojums ir patvaļīgs?

Dots, ka \(n-\) naturāls pāra skaitlis. Apskatām reizinājumu

\[R=n(n+1)(n+2)(n+3).\]

Pierādīt, ka

\(\frac{1}{1^{4}+1^{2}+1}+\frac{2}{2^{4}+2^{2}+1}+\frac{3}{3^{4}+3^{2}+1}+\ldots+\frac{2009}{2009^{4}+2009^{2}+1}<\frac{1}{2}\).

Kādā valstī prezidenta vēlēšanās piedalās \(3\) kandidāti \(A,\ B\) un \(C\). Katrs valsts iedzīvotājs atbalsta tieši vienu no viņiem. Bez tam katrs iedzīvotājs vai nu vienmēr runā patiesību, vai vienmēr melo. Katram iedzīvotājam aptaujā uzdeva \(3\) jautājumus:
1) vai Jūs atbalstāt \(A\)?
2) vai Jūs atbalstāt \(B\)?
3) vai Jūs atbalstāt \(C\)?

Uz šiem jautājumiem attiecīgi \(60 \%\), \(50 \%\) un \(40 \%\) atbilžu bija "jā".

Kāda daļa no \(B\) atbalstītājiem ir meļi?

Uz galda atrodas \(n\) konfektes, \(n\) - naturāls skaitlis. Divi spēlētāji pamīšus ēd pa \(x^{2}\) konfektēm, kur \(x\) - naturāls skaitlis (\(x\) var mainīties no gājiena uz gājienu). Tas, kam nav ko ēst, zaudē. Pierādīt: ir bezgalīgi daudz tādu \(n\), ka, pareizi spēlējot, otrais spēlētājs var uzvarēt.

Atrisināt nevienādību sistēmu

\[\left\{\begin{array}{l} x^{3}y+3 \leq 4z \\ y^{3}z+3 \leq 4x \\ z^{3}x+3 \leq 4y \end{array}\right.\]

pozitīvos skaitļos.

Dots, ka \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2009}\) un \(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{2009}\) ir attiecīgi aritmētiska progresija un ģeometriska progresija, kas abas sastāv no pozitīviem skaitļiem. Dots arī, ka \(a_{1}=b_{1} \neq a_{2009}=b_{2009}\). Kas lielāks: visu aritmētiskās vai visu ģeometriskās progresijas locekļu summa?

Šaha turnīrā piedalās \(8\) spēlētāji; katrs ar katru citu spēlē tieši \(1\) reizi. Par uzvaru spēlētājs saņem \(1\) punktu, par neizšķirtu \(\frac{1}{2}\) punkta, par zaudējumu \(0\) punktus. Tunīru beidzot, izrādījās, ka nekādiem diviem spēlētājiem nav vienāds punktu daudzums. Kāds ir mazākais iespējamais uzvarētāja iegūtais punktu daudzums? (Par uzvarētāju uzskata to spēlētāju, kam turnīra noslēgumā ir visvairāk punktu.)

Uz kādas planētas tiek lietotas \(2009\) dažādas valodas. Kāds mazākais daudzums vārdnīcu pietiekams, lai no katras valodas varētu tulkot uz katru citu? (Pieļaujamas vairākpakāpju tulkošanas; ar katru vārdnīcu tulko tikai vienā virzienā, piemēram, no latviešu valodas uz lietuviešu valodu, bet ne otrādi.)

Naturāla skaitļa \(n\) pozitīvo dalītāju skaitu apzīmējam ar \(d(n)\). Piemēram, \(d(1)=1;\ d(6)=4\) utt. Sauksim skaitli \(n\) par apaļīgu, ja tas dalās ar \(d(n)\).

(A) atrodiet piecus apaļīgus skaitļus,

(B) pierādiet, ka apaļīgu skaitļu ir bezgalīgi daudz.

Dots, ka sešstūris \(ABCDEF\) ir izliekts un tā pretējās malas ir pa pāriem vienādas. Nekādas divas tā malas un diagonāles nav paralēlas viena otrai. Ar \(A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}, E_{1}, F_{1}\) apzīmējam attiecīgi diagonāļu \(AC, BD, CE, DF, EA, FB\) viduspunktus. Pierādīt, ka taisnes \(A_{1}D_{1},\ B_{1}E_{1}\) un \(C_{1}F_{1}\) krustojas vienā punktā.

Trijstūrim \(T\) visas malas ir dažāda garuma. Par punktiem \(M\) un \(N\) zināms tikai tas, ka tie atrodas trijstūra \(T\) iekšpusē.
(A) vai var gadīties, ka nogrieznis \(MN\) garāks par divām \(T\) malām?
(B) vai var gadīties, ka nogrieznis \(MN\) garāks par visām \(T\) malām?

Andris grib izrakstīt rindā naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(10\) katru tieši vienu reizi tā, lai pirmais skaitlis nedalītos ar otro, pirmo divu skaitļu summa nedalītos ar trešo, pirmo triju skaitļu summa nedalītos ar ceturto, \(\ldots\) , pirmo deviņu skaitļu summa nedalītos ar desmito. Vai to var izdarīt?

Uz kvadrāta \(ABCD\) malas \(BC\) ņemts tāds punkts \(M\), ka leņķa \(AMC\) bisektrise krusto malu \(CD\) tās viduspunktā \(K\). Pierādīt, ka \(AK\) ir leņķa \(MAD\) bisektrise.

Punkti apzīmē reizināšanas zīmes, vienādi burti - vienādus ciparus, bet dažādi burti - dažādus ciparus (izņemot \(I\) un \(Ī\), kas apzīmē vienu un to pašu ciparu).

Katrīna aprēķināja izteiksmes \(\frac{K \cdot R \cdot Ī \cdot Z \cdot E}{L \cdot A \cdot T \cdot V \cdot I \cdot J \cdot A}\) skaitlisko vērtību. Kādu rezultātu viņa ieguva?

Dots daudzstūris ar \(2n+1\) virsotnēm, \(n\) - naturāls skaitlis. Tā virsotnēs un malu viduspunktos jāieraksta naturāli skaitļi no \(1\) līdz \(4n+2\) (katrā punktā - cits skaitlis) tā, lai to trīs skaitļu summas, kas uzrakstīti uz vienas malas, visas būtu savā starpā vienādas. Vai to var izdarīt, ja

(A) \(n=2\),

(B) patvaļīgam naturālam \(n\)?

(A) Dots, ka taisnstūri ar izmēriem \(m \times n\) rūtiņas var sagriezt tādās figūrās, kāda redzama 3.zīm. Pierādīt: šo taisnstūri var sagriezt arī tādās figūrās, kāda redzama 4.zīm.

(B) Vai taisnība, ka jebkuru taisnstūri, kam gan garums, gan platums ir vismaz \(4\) rūtiņas un kuru var sagriezt 5.zīm. redzamās figūrās, var sagriezt arī 6.zīm. redzamās figūrās?

Figūras var būt arī pagrieztas vai apgrieztas "uz mutes".