Dots, ka \(ABC\) - trijstūris, bet \(X\) un \(Y\) - tādi punkti, ka \(\sphericalangle AXB=\sphericalangle BYC=90^{\circ}\). Pierādīt, ka nogrieznis \(XY\) nav garāks par \(\triangle ABC\) pusperimetru.

Katrs riņķa līnijas punkts nokrāsots vai nu balts, vai sarkans. Ir zināms: ja kāds vienādmalu trijstūris ievilkts šajā riņķa līnijā, tad vismaz \(2\) no tā virsotnēm ir baltas.

Pierādīt: eksistē tāds šajā riņķa līnijā ievilkts kvadrāts, kuram vismaz \(3\) virsotnes ir baltas.

Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu

\(x^{2}+(x+1)^{2}=y^{2}\), ja \(x \leq 200\)

Stars \(t\) ir \(\sphericalangle AOB\) bisektrise, \(CA \perp OA\) un \(DB \perp OB\) (skat. 2.zīm.). Punkts \(M\) ir \(CD\) viduspunkts. Pierādit, ka \(MA=MB\).

Dots, ka \(ABC\) ir šaurleņķu trijstūris, \(AB>AC\) un \(\sphericalangle BAC=60^{\circ}\). Apvilktās riņķa līnijas centrs ir \(O\), bet augstumu krustpunkts ir \(H\). Taisne \(OH\) krusto malas \(AB\) un \(AC\) attiecīgi punktos \(P\) un \(Q\). Pierādīt, ka \(PO=HQ\).

Dots, ka \(x\) un \(y\) - naturāli skaitļi. Pierādīt, ka mazākais naturālais skaitlis, kas dalās gan ar \(x\), gan ar \(y\), nav \(x+y\)

Dots, ka \(a,\ b\) un \(c\) ir pozitīvi skaitļi. Pierādīt, ka \((1+ab)(1+ac)(1+bc) \geq 8abc\).

Kvadrāts sastāv no \(10 \times 10\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām. Katra rūtiņa nokrāsota vienā no \(10\) krāsām; katrā krāsā nokrāsotas tieši \(10\) rūtiņas. Pierādīt: var atrast vai nu tādu rindu, vai tādu kolonnu, kurā sastopamas vismaz \(4\) krāsas.

Šaurleņķu trijstūrī \(ABC\) novilkti augstumi \(AX\) un \(CY\). Uz malas \(AC\) atzīmēti \(M\) un \(N\) tā, ka \(XM \parallel AB\) un \(YN \parallel BC\) (skat. 1.zīm). Pierādīt, ka punkti \(X,\ Y,\ M\) un \(N\) atrodas uz vienas riņķa līnijas.

Uz taisnes atrodas figūriņa. Andris un Maija spēlē spēli. Viņi izdara gājienus pamīšus; sāk Andris. Andris ar savu kārtējo gājienu nosauc pozitīvu skaitli, kas nepārsniedz \(1\); pēc tam Maija pārbīda figūriņu pa taisni par Andra nosaukto attālumu uz to pusi, uz kuru viņa vēlas. Maija nedrīkst \(12\) reizes pēc kārtas bīdīt figūriņu vienā virzienā. Vai Andris var panākt, lai figūriņa nonāk tālāk nekā attālumā \(2008\) pa labi no sākotnējās atrašanās vietas, pat ja Maija cenšas to nepieļaut?

Dots, ka \(n\) - naturāls skaitlis un skaitļa \(n^{2}\) decimālajā pierakstā viens cipars ir "\(2\)", bet pārējie cipari ir "\(1\)". Pierādīt, ka \(n\) dalās ar \(11\).

Kuriem naturāliem skaitļiem \(x\) piemīt īpašība: nosvītrojot \(x\) trīs pēdējos ciparus, iegūst \(\sqrt[3]{x}\)?

Vai eksistē tādi reāli skaitļi \(a,\ b\) un \(c\), ka \(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)?

Ja \(x\) un \(y\) - naturāli skaitļi (vanbūt vienādi), tad ar \([x, y]\) apzīmējam to mazāko kopīgo dalāmo. Kādus naturālus skaitļus \(n\) var izteikt formā \(n=[x, y]+[y, z]+[z, x]\)?

Universitātē strādā \(12\) profesori. No tiem sastādītas \(2008\) padomes. Nekādas divas padomes nesastāv no vieniem un tiem pašiem profesoriem, bet katrām divām padomēm var atrast vismaz vienu profesoru, kas piedālās tajās abās.

Pierādīt, ka var nodibināt vismaz vēl vienu padomi tā, lai abi minētie nosacījumi joprojām izpildītos.

Atrisināt vienādojumu

\[\bigg|\ldots \Big| \big| |x-1|-10 \big|-10^{2} \Big|-\ldots-10^{2007}\bigg|=10^{2008}\]

Vienā un tai pašā koordinātu sistēmā \(0xy\) uzzīmēti funkciju \(y=x^{2}+x+a\) un \(x=y^{2}+y+b\) grafiki (\(a\) un \(b\) - konstantes). Zināms, ka tie krustojas \(4\) punktos. Pierādīt, ka šie \(4\) punkti atrodas uz vienas riņķalīnijas.

Dots, ka \(a,\ b\) un \(c\) - pozitīvi skaitļi, pie tam pastāv vienādības \(ab=\frac{c-a+1}{b}=\frac{c+1}{2}\). Pierādīt, ka

• \(b=1\),
• viens no skaitļiem, \(a,\ b,\ c\) ir divu pārējo summas puse.

Ar kādu mazāko gājienu skaitu šaha zirdziņš var nonākt no šaha galdiņa kreisā apakšējā stūra uz labo augšējo stūri?

Dotas \(27\) lodītes. Uz tām uzrakstīti numuri - naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(27\) (uz katras lodītes - cits skaitlis). Lodītes kaut kā saliktas baltā, sarkanā un melnā kastē (katra lodīte ir vienā kastē). Zināms, ka baltajā kastē esošo lodīšu numuru vidējais aritmētiskais ir \(15\); sarkanajā kastē esošo lodīšu numuru vidējais aritmētiskais ir \(3\); melnajā kastē esošo lodīšu numuru vidējais aritmētiskais ir \(18\). Cik lodīšu var būt baltajā kastē?