Sešpadsmit punkti izvietoti kvadrātiska režģa formā (skat. 2.zīm.). Kādu mazāko daudzumu punktu jāizdzēš, lai nekādi \(4\) palikušie punkti nebūtu tāda kvadrāta virsotnes, kura malas vērstas bultiņu virzienos?

Vai eksistē tādi naturāli skaitļi \(x\) un \(y\), ka

(A) \(xy(x-y)=20082007\)?

(B) \(xy(x-y)=240\)?

Karnevāla zālē ir \(5\) lampas; katras divas lampas savieno viena vītne. Lampu un vītņu krāsošanai kopā izmantotas \(n\) krāsas. Ir zināms, ka vienlaicīgi izpildās šādas divas īpašības:

(A) nekādas divas vītnes, kas piestiprinātas vienai lampai, nav vienā krāsā,

(B) neviena vīne nav piestiprināta lampai ar tādu pašu krāsu.

Kāda ir mazākā iespējamā \(n\) vērtība?

Ir zināms, ka \(f(x)\) un \(g(x)\) - kvadrāttrinomi, pie tam gan \(2f(x)+g(x)\), gan \(f(x)-g(x)\) ir tāds kvadrāttrinoms, kuram ir tikai viena sakne (jeb, citādi sakot, abas saknes ir vienādas). Dots arī, ka kvadrāttrinomam \(f(x)\) ir divas dažādas saknes. Pierādīt, ka kvadrāttrinomam \(g(x)\) sakņu nav.

Ir \(4\) tortes gabali ar masām \(x,\ y,\ z,\ t\); dots, ka \(x<y<z<t\). Andris un Maija spēlē šādu spēli. Andris izvēlas vienu tortes gabalu, pēc tam Maija - otru; abi bērni nekavējoties sāk ēst. Tikko kāds savu gabalu apēdis, vinš nekavējoties izvēlas kādu gabalu no atlikušajiem un sāk ēst to, utt. Spēles mērķis ir apēst vairāk tortes nekā otram. Abi bērni torti ēd vienmērīgi un ar vienādiem ātrumiem.

Vai var gadīties, ka Andris uzvar, no sākuma izvēloties gabalu \(x\)? Uzskatām, ka Maija noteikti ēd torti sev visizdevīgākajā veidā.

Regulāra \(n\)-stūra virsotnēs ierakstīti naturāli skaitļi no \(1\) līdz \(n\) (katrā virsotnē cits skaitlis) ar īpašību: ja \(A,\ B,\ C\) - trīs \(n\)-stūra virsotnes un \(AB=AC\), tad virsotnē \(A\) ierakstītais skaitlis vai nu lielāks par abiem skaitļiem, kas ierakstīti virsotnēs \(B\) un \(C\), vai arī mazāks par tiem abiem.

Vai var būt, ka (A) \(n=8\), (B) \(n=7\), (C) \(n=10\), (D) \(n=16\)?

Kvadrāts sastāv no \(n \times n\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām. Katrā rūtiņā ierakstīts nenegatīvs vesels skaitlis. Visu ierakstīto skaitļu summa ir \(101\). Katrās divās rūtiņās, kurām ir kopīga mala, ierakstītie skaitļi atšķiras viens no otra tieši par \(1\). Kāda ir lielākā iespējamā \(n\) vērtība?

Kādiem naturāliem skaitļiem \(n\) vienlaicīgi piemīt sekojošas īpašības:

a. \(n-1\) un \(n+1\) ir pirmskaitļi,
b. skaitļa \(n\) visu naturālo dalītāju summa (ieskaitot \(1\) un \(n\)) ir \(2n\)?

Skaitļi \(a,\ b,\ c\) visi nav vienādi savā starpā. Pierādīt, ka \(a^{2}+b^{2}+c^{2} \neq ab+ac+bc\).

Dots, ka \(f(x)=x^{2}+8x+12\). Atrisināt vienādojumu \(f(f(f(f(x))))=0\).

Kvadrāts sastāv no \(n \times n\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām. Ir zināms, ka to var sagriezt tādos gabalos, kādi parādīti 2.zīm., pie tam abu veidu gabali ir vienādā skaitā. Atrast mazāko iespējamo \(n\) vērtību.

Šaurleņķu trijstūrī \(ABC\) novilkti augstumi \(AX\) un \(CY\); malas \(AC\) viduspunkts ir \(M\). Uz augstuma \(AX\) atzīmēts tāds punkts \(Z\), ka \(YZ=ZX\). Pierādīt, ka punkti \(A;\ Y;\ Z;\ M\) atrodas uz vienas riņķa līnijas.

Vai eksistē tāds naturāls skaitlis \(n\), ka reizinājums \(n \cdot n\) sākas ar \(1234567 \ldots\)?

Katrīna katru dienu nēsā citas krāsas cepuri. Viņa nolēmusi, ka pēc sarkanas cepures vina nēsā dzeltenu, pēc dzeltenas - zaļu, pēc zaļas - brūnu, pēc brūnas violetu, pēc violetas - atkal sarkanu, utt. Pirmajā dienā Katrīnai bija zaļa cepure, \(2008.\) dienā - dzeltena. Ir zināms, ka Katrīna pieļāva tieši vienu kļūdu, valkājot sarkanu cepuri dienā, kad to nevajadzēja darīt. Kādas krāsas cepuri viņa valkāja iepriekšējā dienā?

Kādā valstī ir \(100\) pilsētas. No katras pilsētas iziet \(5\) ceļi. Katrs ceļš savieno divas pilsētas, neiegriežoties citās; starp katrām divām pilsētām ir ne vairāk par vienu ceļu; visu ceļu garumi ir dažādi. Visu ceļu kopgarums ir \(30000 ~\mathrm{km}\). Ja izvēlas katrai pilsētai visīsāko no tās izejošo ceļu un saskaita visu \(100\) izvēlēto ceļu garumus (varbūt dažu ceļu garumus ieskaita summā divreiz), iegūst \(10000 ~\mathrm{km}\). Pierādīt, ka šajā valstī ir tāds ceļš, kura garums nav mazāks par \(125 ~\mathrm{km}\).

Ceļu policijas vienībā ir \(7\) policisti. Katru vakaru dežurēt dodas \(3\) no tiem. Pēc kāda laika izrādījās, ka katri divi policisti kopā dežurējuši tieši \(n\) reizes.

(A) atrodiet kaut vienu iespējamu \(n\) vērtību,

(B) vai var būt, ka \(n=3\)?

Šaurleņķu trijstūrī \(ABC\) novilkts augstums \(CH\); izrādījās, ka \(AH=BC\). Caur \(H\) paralēli malai \(BC\) novilkta taisne; tā krusto augstumu \(AA_{1}\) punktā \(K\). Pierādīt, ka \(K\) atrodas uz \(\sphericalangle ABC\) bisektrises.

Kvadrāts sastāv no \(2008 \times 2008\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām, kas izkrāsotas šaha galdiņa kārtībā. Griežot pa rūtiņu līnijām, tas sagriezts mazākos kvadrātos ar nepāra skaitu rūtiņu katrā. Pierādiet: no šo kvadrātu centrālajām rūtiņām tieši puse ir baltas un puse - melnas. (Ja kvadrāts sastāv no \(1\) rūtiņas, tad šo vienīgo rūtiņu uzskata par tā centrālo).

Starp katriem diviem blakus uzrakstītiem cipariem vienādības zīmes kreisajā pusē jāievieto "+" vai "-" zīme tā, lai iegūtu pareizu vienādību. Jābūt sešām "+" zīmēm un divām "-" zīmēm. Pacentieties atrast trīs dažādus zīmju izvietojumus.

\[\mathbf{123456789=19}\]

Sešciparu naturālu skaitli sauc par laimīgu, ja kaut kādu \(3\) ciparu summa vienāda ar pārējo \(3\) ciparu summu. Divi viens otram sekojoši skaitļi ir laimīgi. Pierādīt, ka viens no tiem dalās ar \(10\).

Kvadrāts sastāv no \(n \times n\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām. Ir zināms, ka to var sagriezt tādos gabalos, kādi parādīti 3.zīm., pie tam viena veida gabalu ir tikpat, cik otra. Atrast mazāko iespējamo \(n\) vērtību.

Katram no kvadrāttrinomiem \(x^{2}+ax+b\) un \(x^{2}+cx+d\) ir divas dažādas saknes; visi skaitļi \(a,\ b,\ c,\ d\) ir dažādi. Minēto četru sakņu summas puse ir vienādojuma \(x^{2}+ax+b=x^{2}+cx+d\) sakne. Pierādīt, ka pirmā kvadrāttrinoma sakņu kvadrātu summa vienāda ar otrā kvadrāttrinoma sakņu kvadrātu summu.

Vai var pa apli izrakstīt naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(10\) katru tieši vienu reizi tā, lai katru divu blakus uzrakstītu skaitļu starpība būtu:

(A) vismaz \(4\),
(B) vismaz \(5\)?

Vai no figūrām, kas parādītas 1.zīm., var salikt kaut kādu taisnstūri? Katru figūru jāņem tieši vienā eksemplārā. Visas rūtiņas ir vienādi kvadrātiņi. Figūras drīkst pagriezt un pat apgriezt "uz mutes", bet tās nedrīkst pārklāties viena ar otru.

Basketbola spēlē starp votivapām un šillišallām uzvarēja votivapas ar rezultātu \(68:62\). Spēles gaitā bija tāds brīdis, kad votivapas bija guvuši tik punktu, cik šillišallām vēl bija atlicis gūt līdz spēles beigām. Cik punktu šai brīdī bija guvušas abas komandas kopā?

Apzīmējam \(f(n)=1^{n}+2^{n}+3^{n}+4^{n},\ n=1; 2; 3; \ldots\). Ar kādu lielāko daudzumu nuļļu var beigties skaitlis \(f(n)\)?

No \(10\) skaitļiem izveidotu virkni sauc par labu, ja tā vienlaicīgi apmierina šādas \(3\) prasības:

(A) tā satur visus naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(10\) ieskaitot,

(B) ja no virknes izsvītro trīs skaitļus \(8,\ 9\) un \(10\), tad atlikušie \(7\) virknes locekļi nav augošā secībā,

(C) ja no virknes izsvītro vēl arī skaitli \(7\), tad atlikušie virknes locekļi ir augošā secībā.

Cik ir labu virkņu? Atbilde jādod decimālā pierakstā.

Kurus naturālos skaitļus \(n\) var izsacīt formā \(n=\frac{x}{y}\), kur \(x=a^{3},\ y=b^{4},\ a\) un \(b\) - naturāli skaitļi?

Trijstūrī \(ABC\) ar \(h_{a}\), \(h_{b}\) un \(h_{c}\) apzīmēti to augstumu garumi, kas vilkti attiecīgi no virsotnēm \(A,\ B,\ C\). Dots, ka \(h_{a} \geq 3, h_{b} \geq 4, h_{c} \geq 5\).

Kāds ir mazākais iespējamais \(\triangle ABC\) laukums?

Sporta klubā sapulcējušies cīkstoņi un vingrotājas. Cīkstoņu vidējais svars ir \(84~\mathrm{kg}\); vingrotāju vidējais svars ir \(54~\mathrm{kg}\); visu sportistu vidējais svars ir \(71~\mathrm{kg}\). Pierādīt, ka cīkstoņu skaits dalās ar \(17\).

Andrim ir figūriņas, kas sastāv no vienādiem kvadrātiņiem (skat. 3.zīm.) - pa \(10\) katra veida.

Vai viņš var salikt kvadrātu \(7 \times 7\) rūtiņas, izmantojot (A) \(12\) figūriņas; (B) \(14\) figūriņas? Figūriņas nedrīkst pārklāties.

Trijstūrī \(ABC\) dots, ka \(AC<BC\). Apzīmējam apvilkto riņķa līniju ar \(w\). Punkts \(E\) ir viduspunkts tam no \(w\) lokiem \(AB\), kurš satur \(C\). Punkts \(D\) atrodas uz nogriežņa \(BC\) un \(BD=AC\). Stars \(ED\) krusto \(w\) punktā \(F\), kas nesakrīt ar \(A\). Pierādīt, ka \(AF \parallel BC\).

Atrodiet vismaz \(5\) dažādus pirmskaitļus, ar kuriem dalās skaitlis \(3^{32}-2^{32}\).

Atrodiet mazāko naturālo skaitli, ko var izsacīt gan kā \(15\), gan kā \(16\), gan kā \(17\) pēc kārtas ņemtu naturālu skaitļu summu.

Klasē ir \(10\) skolēni. Viņiem jāregistrējas \(1023\) eksāmenu kārtošanai, turklāt nedrīkst būt divu tādu eksāmenu, kurus kārto vieni un tie paši skolnieki. Katru eksāmenu jākārto vismaz vienam skolniekam. Dots, ka \(n\) - vesels skaitlis, \(0 \leq n \leq 1023\). Pierādīt, ka eksāmenam reģistrējušos skolnieku sarakstus var nodrukāt uz baltām un zaļām lapām tā, ka vienlaicīgi izpildās šādas prasības:

• ja divas lapas \(X\) un \(Y\) ir vienā krāsā, tad tā lapa, uz kuras pierakstīti tieši tie skolnieki, kas pierakstīti vismaz uz vienas no lapām \(X\) un \(Y\), ir tādā pašā krāsā kā \(X\) un \(Y\),
• ir tieši \(n\) baltas lapas.

Vai eksistē

(A) sešstūris, kuru var sagriezt divos trijstūros,

(B) sešstūris, kuru nevar sagriezt divos četrstūros?

Pierādīt, ka visiem reāliem skaitļiem \(x\) un \(y\) pastāv nevienādība

\[\cos \left(x^{2}\right)+\cos \left(y^{2}\right)-\cos (xy)<3\]

Dots, ka \(\triangle ABC\) ir taisnleņķa, \(\sphericalangle ACB=90^{\circ}\). Zināms, ka \(CH\) ir šī trijstūra augstums, \(CM=2 \cdot HM\) un \(KM \perp AB\) (skat. 1.zīm.). Aprēķināt \(\sphericalangle AKC\).

Dots, ka \(x\) un \(y\) - reāli skaitļi. Pierādīt, ka \(\left(1+x^{2}\right)\left(1+y^{2}\right) \geq x\left(1+y^{2}\right)+y\left(1+x^{2}\right)\).

Deju kolektīvā ir \(5\) zēni un \(5\) meitenes; visu bērnu augumi ir dažādi. Dejā "Alfa" bērni sadalīti \(5\) pāros tā, ka katrā pārī zēns ir garāks par meiteni.

(A) Vai var gadīties, ka dejā "Beta" bērni sadalīti \(5\) pāros tā, ka katrā pārī meitene garāka par zēnu?

(B) Vai var gadīties, ka dejā "Gamma" bērni sadalīti \(5\) pāros tā, ka četros pāros meitene garāka par zēnu?