Funkcija \(f(n)\) definēta visiem veseliem \(n\) un pieņem veselas vērtības. Visiem veseliem \(x\) un \(y\) pastāv vienādība

\[f(f(x)+y)=x+f(y+2008)\]

Vai eksistē tādi trīs naturāli skaitļi, kas visi lielāki par \(1\) un kam piemīt īpašība: katra skaitļa kvadrāts, pamazināts par \(1\), dalās ar katru no abiem pārējiem skaitļiem?

Dots, ka \(\sphericalangle ABD=\sphericalangle CBD=60^{\circ}, B, D\) un \(E\) atrodas uz vienas taisnes, \(BD=BA, DE=BC\) (skat. 3.zīm.). Pierādīt, ka trijstūrī \(ACE\) visas malas vienādas savā starpā.

Plakne sadalīta vienādos kvadrātiņos ar izmēriem \(1 \times 1\) kā rūtiņu lapa. Simts rūtiņās, kas veido kvadrātu \(10 \times 10\), bija novietots pa vienai figūriņai. Šīs figūriņas savāca un novietoja citā vietā (ne vairāk kā vienu figūriņu vienā rūtiņā) tā, ka katras divas figūriņas, kas sākumā atradās rūtiņās ar kopīgu malu, pēc pārvietošanas atkal atradās rūtiņās ar kopīgu malu. Pierādīt, ka pēc pārvietošanas figūriņas atkal aizpilda \(10 \times 10\) rūtiņu kvadrātu.

Plaknē atzīmēti \(17\) punkti. Pierādīt, ka \(5\) no tiem var nokrāsot sarkanus tā, lai nevienam trijstūrim ar trim sarkanām virsotnēm visas malas nebūtu vienādas.

Naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(2008\) ieskaitot jāsadala grupās tā, lai izpildītos sakarība: ja \(a\) dalās ar \(b\) un \(b\) dalās ar \(c\) (\(a,\ b,\ c\) - dažādi naturāli skaitļi), tad \(a,\ b\) un \(c\) visi nepieder vienai un tai pašai grupai. Kāds ir mazākais iespējamais grupu skaits?

Riņķa līnijas \(\omega_{1}\) un \(\omega_{2}\) ārēji pieskaras viena otrai punktā \(M\). Taisne \(t_{1}\) pieskaras \(\omega_{1}\) un \(\omega_{2}\) attiecīgi punktos \(A\) un \(B\). Taisne \(t_{2}\), kas ir paralēla \(t_{1}\), pieskaras \(\omega_{2}\) punktā \(C\) un krusto \(\omega_{1}\) divos punktos. Pierādīt, ka \(A, M\) un \(C\) atrodas uz vienas taisnes.

Kādu lielāko daudzumu dažādu ciparu var izrakstīt pa apli tā, lai katri divi blakus uzrakstīti cipari, lasot tos vienalga kādā virzienā, veidotu pirmskaitļa pierakstu?

Doti sviras svari un \(9\) pēc ārējā izskata vienādas monētas; zināms, ka to masas ir \(1 \mathrm{~g}, 3 \mathrm{~g}, 3^{2} \mathrm{~g}, 3^{3} \mathrm{~g}, \ldots, 3^{8} \mathrm{~g}\).

Ar kādu mazāko svēršanu skaitu var noskaidrot katras monētas masu? Uz katra no kausiem var vienlaicīgi likt arī vairākas monētas. Svari parāda uz kausiem uzlikto masu starpību.

Šaha turnīrā piedalās \(8\) spēlētāji; katrs ar katru citu spēlē tieši \(1\) reizi. Par uzvaru spēlētājs saņem \(1\) punktu, par neizšķirtu \(\frac{1}{2}\) punkta, par zaudējumu \(0\) punktus. Turnīru beidzot, izrādījās, ka nekādiem diviem spēlētājiem nav vienāds punktu daudzums. Kāds ir mazākais iespējamais uzvarētāja iegūtais punktu daudzums? (Par uzvarētāju uzskata to spēlētāju, kam turnīra noslēgumā ir visvairāk punktu.)

Kvadrātveida tabula sastāv no \(12 \times 12\) rūtiņām. Katrā rūtiņā ierakstīts nenulles cipars. No katras rindiņas un katras kolonnas cipariem, ņemot tos patvaļīgā secībā, izveidots viens divpadsmitciparu naturāls skaitlis. Vai var gadīties, ka tieši \(23\) no šiem skaitļiem (ne vairāk un ne mazāk) dalās ar \(3\)?

Pierādīt, ka

\(\frac{1}{1^{4}+1^{2}+1}+\frac{2}{2^{4}+2^{2}+1}+\frac{3}{3^{4}+3^{2}+1}+\ldots+\frac{2008}{2008^{4}+2008^{2}+1}<\frac{1}{2}\).

Taisnstūris sastāv no \(7 \times 13\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām. Vai to var sagriezt daļās tā, lai \(15\) daļas būtu taisnstūri ar izmēriem \(2 \times 3\) rūtiņas? Griezumiem jāiet pa rūtiņu līnijām.

Uz \(50\) kartiņām uzrakstīti naturāli skaitļi no \(1\) līdz \(50\) ieskaitot (katrs skaitlis uz citas kartiņas). Rindā viena aiz otras atrodas \(2008\) rūtiņas. Kartiņas kaut kā uzliktas uz \(50\) rūtiņām (uz katras rūtiņas - ne vairāk kā viena kartiņa). Ja kādam \(n,\ 1 \leq n<50\), kartiņai \(\fbox{n}\) tieši pa labi esošā rūtiņa ir brīva, tad kartiņu \(\fbox{n+1}\) atļauts pārcelt uz šo brīvo rūtiņu; to sauc par vienu gājienu. Pierādīt, ka nevar izdarīt vairāk par \(1250\) gājieniem.

Skaitļi tabulā ierakstīti tā, kā parādīts 1.zīm. Ar vienu gājienu var vai nu pieskaitīt \(1\) visiem vienas (jebkuras) rindiņas skaitļiem, vai arī atņemt \(1\) no visiem vienas (jebkuras) kolonnas skaitļiem. Parādīt, ka var panākt, lai skaitļi būtu ierakstīti tabulā tā, kā parādīts 2.zīm.

Kvadrāts sadalīts rūtiņās ar malu garumu \(1\). Pa dalījuma līnijām (kvadrāta iekšpusē un uz tā ārējās robežas) uzzīmētas vairākas slēgtas līnijas; katra no tām ierobežo kaut kādu taisnstūri. Vai var gadīties, ka katras rūtiņas katra mala pieder

(A) pāra skaitam līniju,

(B) nepāra skaitam līniju?

Uz kādas planētas tiek lietotas \(2008\) dažādas valodas. Kāds mazākais daudzums vārdnīcu pietiekams, lai no katras valodas varētu tulkot uz katru citu? (Pieļaujamas vairākpakāpju tulkošanas; ar katru vārdnīcu tulko tikai vienā virzienā, piemēram, no latviešu valodas uz lietuviešu valodu, bet ne otrādi.)

Trijstūra \(ABC\) leņķa \(A\) bisektrise krusto malu \(BC\) punktā \(D\) un apvilkto riņķa līniju punktā \(M\). Caur \(D\) novilkta taisne, kas neiet caur \(A\); tā krusto riņķa līniju ar centru \(M\) un rādiusu \(MB\) punktos \(X\) un \(Y\). Pierādīt, ka stars \(AD\) ir \(\sphericalangle XAY\) bisektrise.

Dots, ka \(x, y, z\) - pozitīvi skaitļi un \(xy+yz+zx>x+y+z\). Pierādīt, ka \(x+y+z>3\).

Kvadrāts sastāv no \(20 \times 20\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām. Katra rūtiņa nokrāsota balta, melna, sarkana vai zaļa tā, ka nekādām divām vienādi nokrāsotām rūtiņām nav kopīgu robežas punktu.

(A) cik ir sarkanu rūtiņu?

(B) pierādiet: stūra rūtiņas nokrāsotas dažādās krāsās.

Pieņemsim, ka 6.zīm. attēlotās līknes ir kvadrātfunkciju grafiki. Vai tie var būt funkciju

\(y=ax^{2}+2bx+c\), \(y=bx^{2}+2cx+a\) un \(y=cx^{2}+2ax+b\) grafiki?

Traukā sākumā atradās \(1\) baktērija. Kādā brīdī tā sadalījās divās baktērijās. Katra no jaunajām baktērijām atkal kādā brīdī sadalījās divās baktērijās, utt. Vakar plkst. \(12^{00}\) traukā bija tieši \(2008\) baktērijas. Pierādiet: kādā brīdī traukā bija tāda baktērija, kuras pēcteču skaits starp minētajām \(2008\) baktērijām - apzīmēsim šo skaitu ar \(n\) -apmierina nosacījumus \(670 \leq n \leq 1339\).

Dots, ka \(n\) - naturāls skaitlis. Noskaidrojiet:

(A) vai var gadīties, ka skaitlim \(n^{2}-1\) ir tieši \(10\) dažādi naturāli dalītāji?
(B) vai var gadīties, ka skaitlim \(n^{2}-4\) ir tieši \(10\) dažādi naturāli dalītāji, ja \(n\) - pāra skaitlis?

Pierādīt, ka \(\sphericalangle AMB=\sphericalangle ANB=\sphericalangle AKB\), kur \(A,\ B,\ M,\ N,\ K\) - punkti, kas atrodas kvadrātiska režģa virsotnēs (skat. 7.zīm.)

Šaurleņku trijstūrī \(ABC\) dots, ka \(\sphericalangle ABC=30^{\circ},\ AX\) un \(CY\) ir augstumi, \(M\) un \(N\) - attiecīgi malu \(AB\) un \(BC\) viduspunkti. Pierādīt, ka \(MX \perp NY\).

Uz tāfeles uzrakstīti vairāki skaitļi. Katrs no tiem vienāds ar vienu desmito daļu no pārējo skaitļu summas. Cik skaitļu uzrakstīts? Atrisināt šo uzdevumu divos gadījumos:

(A) ir zināms, ka visi uzrakstītie skaitļi ir pozitīvi,

(B) par skaitļiem nav zināms, vai tie ir pozitīvi, negatīvi vai nulle

Dots, ka \(x\) un \(y\) - tādi naturāli skaitļi, ka \(x \cdot y=10^{12}\). Vai var būt, ka ne \(x\), ne \(y\) nesatur savā pierakstā nevienu ciparu \(0\)?

Dots, ka \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\). Pierādīt, ka \(a=b=c\).

Visi dažādie viencipara skaitļi, kas nav \(0\), sadalīti trīs grupās pa trim skaitļiem katrā un katrai grupai aprēķināts tajā ietilpstošo skaitļu reizinājums. Apzīmēsim lielāko (vai vienu no lielākajiem, ja tādu ir vairāki) no šiem reizinājumiem ar \(A\). Kāda ir mazākā iespējamā \(A\) vērtība?

Andris nosauc Maijai trīs dažādus ciparus. Pierādiet: Maija, neizmantojot citus ciparus kā Andra nosauktos, var uzrakstīt veselu skaitli (viencipara, divciparu vai trīsciparu), kurā nav vienādu ciparu un kas dalās ar \(3\).

Kvadrāts sastāv no \(5 \times 5\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām. Parādiet, ka visas rūtiņas var pārsvītrot ar četrām taisnēm, kuras neiet caur rūtiņu stūriem.

Pieņemsim, ka 5.zīm. attēlotās līknes ir kvadrātfunkciju grafiki.

Vai tie var būt funkciju \(y=ax^{2}+bx+c\), \(y=bx^{2}+cx+a\) un \(y=cx^{2}+ax+b\) grafiki?

Šaha turnīrā piedalās \(7\) dalībnieki. Katrs ar katru citu spēlē tieši vienu reizi. Par uzvaru spēlētājs saņem \(1\) punktu, par neizšķirtu \(\frac{1}{2}\) punkta, par zaudējumu \(0\) punktus. Spēles tiek organizētas šādi: katru dienu kaut kādi \(6\) spēlētāji sadalās \(3\) pāros, un katrs pāris spēlē savā starpā.

Pierādiet: gan pēc pirmās, gan pēc otrās, gan pēc trešās dienas var atrast divus spēlētājus ar vienādiem iegūto punktu daudzumiem.

Vai eksistē tāds naturāls skaitlis \(n\), ka \(n\) ciparu summa ir \(9\), bet reizinājuma \(n \times n\) ciparu summa ir \(81\)?

Vai eksistē tāds naturāls skaitlis \(k\), ka \(k\) ciparu summa ir \(6\), bet reizinājuma \(k \times k\) ciparu summa ir \(24\)?

Desmitciparu naturāls skaitlis dalās ar \(9\ 999\ 999\). Vai tas var dalīties arī ar \(10\ 000\ 001\)?

Kādiem naturāliem \(n\) skaitļu kopu \(\{1; 2; 3; \ldots; n\}\) var sadalīt divās daļās tā, lai vienlaicīgi izpildītos šādi nosacījumi:

a. katrs skaitlis nonāktu tieši vienā daļā,
b. abās daļās būtu vienāds daudzums skaitļu,
c. katras daļas visu skaitļu vidējais aritmētiskais arī piederētu šai daļai?

Piecstūra zvaigznē \(ABCDE\) (skat. 4.zīm.) pastāv sakarības \(\sphericalangle A=\sphericalangle B,\ \sphericalangle E=\sphericalangle C,\ AC=BE\). Pierādīt, ka \(AD=BD\).

Dots, ka \(n>1\) - naturāls skaitlis, kas nav pirmskaitlis. Pierādīt, ka var atrast vismaz trīs dažādus naturālus skaitļus \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}\), kas apmierina sakarību \(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}=n \cdot\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{k}}\right)\).

Katrīna iedomājusies divciparu naturālu skaitli, bet Profesors Cipariņš cenšas to uzminēt. Ar vienu jautājumu viņš nosauc Katrīnai kaut kādu savu iedomātu divciparu skaitli, bet Katrīna pasaka, cik šķirās (nevienā, vienā vai divās) profesora nosauktais skaitlis sakrīt ar viņas iedomāto. Pierādiet, ka profesors var noskaidrot Katrīnas iedomāto skaitli, uzdodot ne vairāk kā \(10\) jautājumus.

Piezīme. Ja Jūs nevarat izdomāt stratēgiju ar \(10\) jautājumiem, bet varat ar \(11,\ 12\) utt., uzrakstiet labāko no savām atrastajām.

Kvadrātvienādojuma \(x^{2}+px+q=0\) saknes ir \(x_{1}\) un \(x_{2}\), bet kvadrātvienādojuma \(x^{2}+ax+b=0\) saknes ir \(x_{3}\) un \(x_{4}\). Nav tādas \(x\) vērtības, ar kuru abu vienādojumu kreisās puses būtu vienādas savā starpā. Pierādīt, ka \(x_{1}+x_{2}=x_{3}+x_{4}\).