Vai eksistē tādi naturāli skaitļi \(x\) un \(y\), ka izteiksmes \(x^{2}-y^{2}-x+y\) vērtība ir

(A) \(10\),
(B) \(2007\)?

Ja \(n\) - naturāls skaitlis, kas lielāks par \(1\), tad ar \(x(n)\) apzīmējam lielāko pirmskaitli, kas nepārsniedz \(n\), bet ar \(y(n)\) - mazāko pirmskaitli, kas pārsniedz \(n\). Piemēram, \(x(6)=5\); \(x(5)=5;\ y(5)=7\). Pierādīt, ka

\[\frac{1}{x(2) \cdot y(2)}+\frac{1}{x(3) \cdot y(3)}+\frac{1}{x(4) \cdot y(4)}+\ldots+\frac{1}{x(600) \cdot y(600)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{601}\]

Kādi var būt nenegatīvi reāli skaitļi \(a\) un \(b\), ja vienādojumiem \(x^{2}+a^{2}x+b^{3}=0\) un \(x^{2}+b^{2}x+a^{3}=0\) ir kopīga reāla sakne?

Uz papīra lapas uzrakstīti \(n\) dažādi naturāli skaitļi, kas nepārsniedz \(14\). Ir zināms: katru no naturāliem skaitļiem \(1;2;3;\ldots;27\) var izsacīt vai nu kā \(x\), vai kā \(2x\), vai kā \(x+y\), kur \(x\) un \(y\) - kaut kādi uzrakstītie skaitļi.

Pierādīt, ka

(A) \(n \geq 6\),
(B) \(n \geq 7\).

Reālu skaitļu virknē \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots\) dots, ka \(a_{11}=4,\ a_{22}=2\) un \(a_{33}=1\). Bez tam visiem naturāliem \(n\) pastāv vienādība \(\frac{a_{n+3}-a_{n+2}}{a_{n}-a_{n+1}}=\frac{a_{n+3}+a_{n+2}}{a_{n}+a_{n+1}}\).

Pierādīt, ka

(A) neviens virknes loceklis nav \(0\),
(B) virkne ir periodiska,
(C) \(a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+\ldots+a_{100}^{k}\) ir naturāla skaitļa kvadrāts, ja \(k\) - patvaļīgs naturāls skaitlis.

(A) Vai var 1.zīm. parādītās tabulas rūtiņās ierakstīt naturālus skaitļus no \(1\) līdz \(9\) (katrā rūtiņā - citu skaitli) tā, lai izpildītos īpašība: ja rinda un kolonna apzīmētas ar vienādiem burtiem, tad tajās ierakstīto skaitļu reizinājumi ir vienādi?

(B) Vai var 2.zīm. parādītās tabulas rūtiņās ierakstīt naturālus skaitļus no \(1\) līdz \(81\) (katrā rūtiņā - citu skaitli) tā, lai izpildītos tāda pati īpašība?

Vai eksistē tādi trīs kvadrāttrinomi, ka katram no tiem ir vismaz viena sakne, bet nekādu divu kvadrāttrinomu summai sakņu nav?

Dots, ka \(x \neq y\) un \(x^{2}-2007x=y^{2}-2007y\). Aprēķiniet \(x+y\) vērtību.

Katra papīra lapas puse sadalīta \(3\) daudzstūros. Vienā pusē viens daudzstūris nokrāsots balts, otrs - sarkans, trešais - zaļš.

Pierādīt: daudzstūrus lapas otrā pusē arī var nokrāsot vienu baltu, vienu sarkanu un vienu zaļu tā, lai vismaz trešā daļa no lapas laukuma būtu nokrāsota vienādi no abām pusēm.

Uz trijstūra \(ABC\) mediānas \(AM\) ņemts tāds punkts \(K\), ka \(\sphericalangle BAC+\sphericalangle BKC=180^{\circ}\). Pierādīt, ka \(AB \cdot KC=AC \cdot KB\).

Katrī \(n\)-stūra prizmas virsotnē ierakstīts vai nu " \(+1\) ", vai " \(-1\) ". Zināms, ka katras skaldnes virsotnēs ierakstīto skaitļu reizinājums ir " \(-1\) ".

Vai var būt, ka

(A) \(n=4\),

(B) \(n=10\)?

Divas riņķa līnijas \(w_{1}\) un \(w_{2}\) krustojas divos punktos \(A\) un \(B\). Taisne \(t_{1}\) iet caur \(B\) un krusto \(w_{1}\) vēl punktā \(C\), bet \(w_{2}\) - vēl punktā \(E\). Taisne \(t_{2}\) iet caur \(B\) un krusto \(w_{1}\) vēl punktā \(D\), bet \(w_{2}\) - vēl punktā \(F\). Punkts \(B\) atrodas gan starp \(C\) un \(E\), gan starp \(D\) un \(F\). Nogriežņu \(CE\) un \(DF\) viduspunktus apzīmējam attiecīgi ar \(M\) un \(N\).

Pierādīt, ka trijstūri \(ACD,\ AEF\) un \(AMN\) ir līdzīgi viens otram.

Pa apli izvietoti \(n\) trauciņi, \(n \geq 3\); dažos no tiem atrodas monētas (varbūt tikai viena vai neviena monēta). Monētu pavisam ir tieši \(n\). Ja ir vismaz viens trauciņš, kurā atrodas ne mazāk par \(2\) monētām, tad ar vienu gājienu atļauts izvēlēties vienu no šādiem trauciņiem, izņemt no tā \(2\) monētas un ielikt tās pa vienai abos blakus esošajos trauciņos. Ar iegūto situāciju drīkst izpildīt tādu pašu gājienu, utt.

Sākotnēji visas monētas atrodas vienā trauciņā. Vai var panākt, lai katrā trauciņā būtu tieši viena monēta, ja (A) \(n=7\), (B) \(n=10\)?

(A) Vai var gadīties, ka katram no kvadrātvienādojumiem \(x^{2}+px+q=0\), \(x^{2}+(p+1)x+(q+1)=0\) un \(x^{2}+(p+2)x+(q+2)=0\) abas saknes ir veseli skaitļi?
(B) Vai var gadīties, ka bez tam arī vēl katram no kvadrātvienādojumiem \(x^{2}+(p-1)x+(q-1)=0\) un \(x^{2}+(p-2)x+(q-2)=0\) abas saknes ir veseli skaitļi? (Saknes var būt arī vienādas.)

Dots, ka \(n\) - naturāls skaitlis.

(A) vai skaitļiem \(n\) un \(n+2007\) ciparu summas var būt vienādas?
(B) vai skaitļiem \(n\) un \(n+199\) ciparu summas var būt vienādas?

Šaurleņķu trijstūrī \(ABC\) nogrieznis \(AM\) ir mediāna, bet nogrieznis \(BN\) - augstums. Dots, ka \(\sphericalangle MCA=2 \cdot \sphericalangle MAC\). Pierādīt, ka \(BC=2 \cdot AN\).

Atrisināt vienādojumu sistēmu

\[\left\{\begin{array}{l} \sin ^{2} x+\cos ^{2} y=y^{2} \\ \sin ^{2} y+\cos ^{2} x=x^{2} \end{array}\right.\]

Regulāra trijstūra \(ABC\) iekšpusē izvēlas patvaļīgu punktu \(O\). Uz trijstūra malām \(AB,\ BC,\ CA\) attiecīgi atrod tādus punktus \(X,\ Y,\ Z\), ka \(OX \parallel CA,\ OY \parallel AB,\ OZ \parallel BC\) (skat. 3.zīm.).

Pierādīt, ka nogriežņu \(OX,\ OY,\ OZ\) vidusperpendikulu veidotā trijstūra laukums nav atkarīgs no \(O\) izvēles.

Kvadrāts sastāv no \(7 \times 7\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām. Dažas no tām nokrāsotas melnas tā, ka katrā kolonnā un katrā rindā ir pāra skaits melnu rūtiņu (varbūt neviena). Kāds var būt kopējais melno rūtiņu skaits?

Naturālo skaitļu kopa sadalīta daļās tā, ka katrs naturāls skaitlis nonācis tieši vienā daļā un katrā daļā ir bezgalīgi daudz skaitļu. Vai noteikti starp daļām atradīsies tāda, kas satur jebkura naturāla skaitļa daudzkārtņi?

Atbildēt uz šo jautājumu, ja

(A) daļu ir galīgs daudzums,
(B) daļu ir bezgalīgi daudz.