Dots, ka \(f(x)=x^{2}+8x+12\). Atrisināt vienādojumu \(f(f(f(x)))=0\).

Dots, ka \(3 \leq x \leq 6\) un \(3 \leq y \leq 6\). Pierādīt, ka \(2x^{2}+2y^{2} \leq 5xy\).

Profesoram Cipariņam ir \(10\) monētas; tieši \(2\) no tām ir viltotas, bet viņš nezina, kuras. Cipariņš pazīst burvi, kuram vienā reizē var iedot pārbaudīt \(3\) monētas; pēc pārbaudes burvis atdod monētas atpakaļ un klusējot norāda uz vienu no tām. Ir zināms: burvis nenorāda uz īstu monētu, ja starp viņam iedotajām trim monētām ir kaut viena viltota. Kā ar \(4\) pārbaudēm Cipariņš var garantēti noskaidrot vismaz vienu viltoto monētu?

Tabulā ir divas rindas un \(n\) kolonnas (skat. 1.zīm.)

Katrā rindā jāieraksta visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(n\) ieskaitot (katrs vienu reizi) tā, lai katrā kolonnā ierakstīto skaitļu summa būtu kaut kāda naturāla skaitļa reizinājums pašam ar sevi. Vai to var izdarīt, ja (A) \(n=11\), (B) \(n=13\)?

Kādā klasē ir \(n\) zēni un \(n\) meitenes. Katrai meitenei patīk \(x\) zēni. Katram zēnam patīk \(y\) meitenes. Pierādīt, ka:

(A) ja \(x+y>n\), tad noteikti var atrast tādu zēnu un tādu meiteni, kas patīk viens otram,

(B) ja \(x+y \leq n\), tad var gadīties, ka šādu zēnu un meiteni atrast neizdodas.

Sauksim naturālu skaitli \(n>1\) par labu, ja visus tā pozitīvos dalītājus var sadalīt divās daļās, kuru summas ir vienādas.

(A) atrodiet kaut vienu labu skaitli, kas lielāks par \(10\),
(B) vai eksistē labi skaitļi, kas lielāki par \(20072007\)?

Rindā uzrakstīti \(13\) veseli skaitļi (starp tiem var būt arī vienādi), kuru summa ir pozitīva. Katru \(3\) pēc kārtas uzrakstīto skaitļu summa ir negatīva.

(A) parādīt kaut vienu piemēru, kā to izdarīt,

(B) pierādīt: vismaz \(5\) no uzrakstītajiem skaitļiem ir pozitīvi.

Vai eksistē \(3\) kvadrāttrinomi ar īpašību: lai kā arī apzīmētu vienu no tiem ar \(f_{1}(x)\), otru ar \(f_{2}(x)\) un trešo ar \(f_{3}(x)\), atradīsies tāds skaitlis \(a\), ka \(f_{1}(a)<f_{2}(a)<f_{3}(a)\)?

Kāda var būt četru tādu divciparu pirmskaitļu summa, kas sastādīti no cipariem \(1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6;\ 7;\ 9\), izmantojot katru no tiem tieši vienu reizi?

Uz katras no \(n\) kartiņām uzrakstīts pa naturālam skaitlim (starp tiem var būt arī vienādi). Zināms, ka vienlaicīgi izpildās šādas īpašības:

• starp uzrakstītajiem skaitļiem ir vismaz \(5\) dažādi,
• katrām divām kartiņām (apzīmēsim tās ar \(A\) un \(B\)) var atrast divas citas kartiņas (apzīmēsim tās ar \(C\) un \(D\)) tā, ka to skaitļu summa, kas uzrakstīti uz \(A\) un \(B\), vienāda ar to skaitļu summu, kas uzrakstīti uz \(C\) un \(D\).

Pierādiet, ka mazākā iespējamā \(n\) vērtība ir \(13\).

Ceļu policijas vienībā ir \(7\) policisti. Katru vakaru dežurēt dodas \(3\) no tiem. Pēc kāda laika izrādījās, ka katri divi policisti kopā dežurējuši tieši \(n\) reizes.

(A) atrodiet kaut vienu iespējamu \(n\) vērtību,

(B) vai var būt, ka \(n=3\)?

Atrisināt vienādojumu

\[x^{3}\left(x^{2}-7\right)^{2}-36x=0\]

Kvadrāts sastāv no \(100 \times 100\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām, kas izkrāsotas šaha galdiņa kārtībā. Griežot pa rūtiņu līnijām, tas sagriezts mazākos kvadrātos ar nepāra skaita rūtiņām katrā. Pierādiet: no šo kvadrātu centrālajām rūtiņām tieši puse ir baltas un puse - melnas. (Ja kvadrāts sastāv no \(1\) rūtiņas, tad šo vienīgo rūtiņu uzskata par tā centrālo).

Kontroldarbu latviešu valodā rakstīja \(50\) pirmklasnieki. Daži no viņiem zina visus burtus, izņemot " \(l\) ", kuru rakstot izlaiž; pārējie zina visus burtus, izņemot " \(d\) ", kuru rakstot izlaiž. Skolotājs lūdza \(10\) skolēniem uzrakstīt vārdu "gads", citiem \(18\) skolēniem - vārdu "gals", pārējiem skolēniem - vārdu "galds". Vārdus "gads" un "gals" uzrakstīja pa \(15\) skolēniem katru. Cik skolēni pareizi izpildīja sev doto uzdevumu?

Kvadrāts sastāv no \(12 \times 12\) rūtiņām, kas izkrāsotas melnas un baltas šaha galdiņa kārtībā. Ar vienu gājienu var izvēlēties divas rūtiņas, kam ir kopīga mala, un pārkrāsot tās: melnu - par sarkanu, sarkanu - par baltu, baltu - par melnu. Ar kādu mazāko gājienu skaitu var panākt, lai vienlaicīgi visas sākotnēji melnās rūtiņas būtu baltas, bet visas sākotnēji baltās rūtiņas - melnas?

Trijstūra \(ABC\) iekšpusē atrodas punkts \(O\). Vai var būt, ka vienlaicīgi \(\sphericalangle OAB=\sphericalangle OBA,\ \sphericalangle OBC=\sphericalangle OCB\) un \(\sphericalangle OCA=\sphericalangle OAC\)?

Ir \(2006\) pēc ārējā izskata vienādas monētas. Dažas (vismaz viena) ir īstas un dažas (vismaz viena) ir viltotas. Visām īstajām monētām ir vienādas masas; arī visām viltotajām monētām ir vienādas masas. Viltotās monētas ir vieglākas par īstajām. Kā, izmantojot sviras svarus bez atsvariem, ar \(1004\) svēršanām noskaidrot, cik ir viltoto monētu?

Rindā izrakstīti \(6\) pozitīvi skaitļi; pirmais no tiem ir \(1\), sestais ir \(6\). Par šo rindu ir zināms: ja skaitļi \(x,\ y,\ z\) atrodas tajā viens aiz otra tieši šādā secībā, tad \(y=\frac{2xz}{x+z}\).

Kādi skaitļi izrakstīti rindā?

Atrast mazāko naturālo skaitli, kas dalās ar katru no kaut kādiem \(12\) pēc kārtas ņemtiem naturāliem skaitļiem.

Veikalā pārdeva \(5\) dažādu nosaukumu saldos sieriņus; visas \(5\) cenas bija dažādas. Gunārs, Dzintars un Maija katrs nopirka trīs dažādu nosaukumu sieriņus; visi trīs bērni samaksāja vienu un to pašu naudas summu. Pierādīt: vismaz divi no bērniem nopirka vienu un to pašu nosaukumu sieriņus.

Skaitļi \(a_{1};\ a_{2};\ a_{3};\ a_{4}\) šādā secībā veido ģeometrisku progresiju, kuras visi locekļi ir dažādi; \(f(x)\) ir kvadrāttrinoms. Vai var vienlaicīgi pastāvēt vienādības \(f\left(a_{1}\right)=a_{2}\), \(f\left(a_{2}\right)=a_{3},\ f\left(a_{3}\right)=a_{4}\)?

Vai var vienlaicīgi pastāvēt tikai divas no šīm vienādībām?

Pa apli izvietotas \(n\) spuldzes; sākotnēji tās visas ir izslēgtas. Viena spuldze apzīmēta ar \(S\). Atrodam visus skaitļa \(n\) pozitīvos dalītājus, ieskaitot \(1\) un \(n\). Katram šādam dalītājam \(d\) veicam sekojošu operāciju: mainām katras \(d\)-tās spuldzes stāvokli (sākot ar spuldzi \(S\)), pavisam izdarot \(n\) maiņas. (Piemēram, ja 1.zīm. attēlotajā situācijā pie \(n=6\) ņemts dalītājs \(d=3\), tad pakāpeniski mainīsim spuldžu \(S;\ C;\ S;\ C;\ S;\ C\) stāvokļus.)

Kurām \(n\) vērtībām, beidzot šīs darbības, visas spuldzes būs ieslēgtas?

Kvadrāts sastāv no \(6 \times 6\) rūtiņām. Vai var dažas no tām izkrāsot melnas tā, lai vienlaicīgi būtu apmierinātas šādas prasības:

(A) katrā rindiņā un katrā kolonnā ir tieši \(4\) melnas rūtiņas,

(B) no katras melnas rūtiņas var aiziet uz katru citu melnu rūtiņu, ar katru soli šķērsojot kādu divu melnu rūtiņu kopējo malu?

Vai no taisnstūrveida papīra strēmelītēm ar izmēriem \(1 \mathrm{~cm} \times 1 \mathrm{~cm},\ 1 \mathrm{~cm} \times 2 \mathrm{~cm}, 1 \mathrm{~cm} \times 3 \mathrm{~cm}, \ldots, 1 \mathrm{~cm} \times 2007 \mathrm{~cm}\), izmantojot katru no tām tieši vienā eksemplārā, var salikt taisnstūri? Strēmelītes nedrīkst pārklāties.

Katrs no trim rūķīšiem Alfa, Beta un Gamma vai nu vienmēr melo, vai vienmēr runā patiesību. Kādu dienu profesors Ciparinš dzirdēja, ka viens no viņiem paziņo: "Alfa un Beta abi ir meli", bet otrs - "Beta un Gamma abi ir meļi" (profesors nedzirdēja, kuri rūķīši to sacīja). Cik starp \(3\) rūķīšiem ir meļu?

Kvadrāts sastāv no \(10 \times 10\) rūtiņām. Katrā rūtiņā ierakstīts naturāls skaitlis, kas nepārsniedz \(10\). Ja divām rūtiņām ir kopēja mala vai kopējs stūris, tad tajās ierakstīto skaitļu lielākais kopīgais dalītājs ir \(1\).

(A) pierādīt, ka kāds skaitlis ierakstīts vismaz \(15\) rūtiņās,
(B) pierādīt, ka kāds skaitlis ierakstīts vismaz \(17\) rūtiņās.

Kuri naturālie skaitļi ir vienādi ar trīs savu dažādu pozitīvu dalītāju summu?

Taisnleņķa trijstūrī \(ABC\left(\sphericalangle ACB=90^{\circ}\right)\) novilkta mediāna \(CM\). Riņķa līnija, kas ievilkta \(\triangle ACM\), pieskaras \(AC\) un \(AM\) attiecīgi punktos \(X\) un \(Y\); dots, ka \(XY \parallel CM\). Aprēķināt \(\triangle ABC\) leņķu lielumus.

Kurus naturālos skaitļus \(n\) var izsacīt formā \(n=\frac{x}{y}\), kur \(x=a^{5},\ y=b^{3}\), \(a\) un \(b\) - naturāli skaitļi?

Vai eksistē desmitciparu naturāls skaitlis, kura visi cipari ir dažādi un kuru var iegūt, sareizinot savā starpā vairākus divniekus, pieciniekus un septītniekus?

Taisnleņķa trapecē \(ABCD\left(\sphericalangle A=\sphericalangle B=90^{\circ}\right.\)) diagonāles krustojas punktā \(S\). Punkts \(M\) atrodas uz nogriežņa \(AB\) un \(SM \perp AB\). Pierādīt, ka \(\sphericalangle CMS=\sphericalangle DMS\).

Atrodiet mazāko piecciparu naturālo skaitli, kam visi cipari dažādi un kas dalās ar \(61\).

Kādiem naturāliem skaitļiem \(n\) vienlaicīgi piemīt sekojošas īpašības:

a. \(n-1\) un \(n+1\) ir pirmskaitļi,
b. skaitļa \(n\) visu naturālo dalītāju summa (ieskaitot \(1\) un \(n\)) ir \(2n\)?

Deju kolektīvā ir \(5\) zēni un \(5\) meitenes; visu bērnu augumi ir dažādi. Dejā "Alfa" bērni sadalīti \(5\) pāros tā, ka katrā pārī zēns ir garāks par meiteni.

(A) Vai var gadīties, ka dejā "Beta" bērni sadalīti \(5\) pāros tā, ka katrā pārī meitene garāka par zēnu?

(B) Vai var gadīties, ka dejā "Gamma" bērni sadalīti \(5\) pāros tā, ka četros pāros meitene garāka par zēnu?

Kvadrāts sastāv no \(n \times n\) rūtiņām, \(n \geq 3\). Pierādīt, ka katru rūtiņu var nokrāsot baltu, melnu vai sarkanu tā, lai izpildītos īpašība: katrai rūtiņai \(x\) eksistē tādas divas kaimiņu rūtiņas \(y\) un \(z\), ka \(x\), \(y\) un \(z\) visas nokrāsotas dažādās krāsās. (Divas rūtiņas sauc par kaimiņu rūtiņām, ja tām ir kopēja mala.)

Trijstūra \(ABC\) leņķa \(A\) bisektrise krusto malas \(AB\) vidusperpendikulu punktā \(X\), malas \(AC\) vidusperpendikulu punktā \(Y\), bet \(\triangle ABC\) apvilkto riņķa līniju punktā \(Z\). Punkti \(A,\ X,\ Y,\ Z\) atrodas uz bisektrises šajā secībā. Pierādiet, ka \(AX=YZ\).

Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu

\[x^{2}+3x=2^{y}\]

Andrim ir figūriņas, kas sastāv no vienādiem kvadrātiņiem (skat. 2.zīm.) - pa \(10\) katra veida.

Vai viņš var salikt kvadrātu ar izmēriem \(7 \times 7\) rūtiņas, izmantojot (A) tieši \(12\) figūriņas, (B) tieši \(14\) figūriņas? Figūriņas savā starpā nedrīkst pārklāties.

Kvadrāts sastāv no \(6 \times 6\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām. Vai dažas no tām var nokrāsot melnas tā, lai katrā \(3 \times 3\) rūtiņu kvadrātā būtu tieši divas melnas rūtiņas?

Šaurleņķu trijstūrī \(ABC\) novilkti augstumi \(AX\) un \(CY\); malas \(AC\) viduspunkts ir \(M\). Uz augstuma \(AX\) atzīmēts tāds punkts \(Z\), ka \(Y=ZX\). Pierādīt, ka punkti \(A;\ Y;\ Z;\ M\) atrodas uz vienas riņķa līnijas.