Dots, ka \(\triangle ABC\) ir šaurleņķu trijstūris. Riņķa līnija \(a\) iet caur \(A\) un \(B\) un krusto malas \(AC\) un \(BC\) attiecīgi punktos \(M\) un \(N\). Pieskares, kas \(\omega\) novilktas punktos \(M\) un \(N\), krustojas punktā \(O\). Pierādīt: \(O\) ir \(\Delta CMN\) apvilktās riņķa līnijas centrs tad un tikai tad, ja \(AB\) ir \(\omega\) diametrs.

Uz katras daudzskaldņa šķautnes atzīmēta bultiņa. Zināms, ka katrā virsotnē ieiet vismaz viena bultiņa un no katras virsotnes iziet vismaz viena bultiņa.

(A) Pierādīt: ja daudzskaldnis ir izliekts, tad noteikti eksistē tāda skaldne, kuras kontūru var apiet, ejot pa malām bultiņu norādītajos virzienos,

(B) vai šī īpašība noteikti izpildās, ja daudzskaldnis nav izliekts?

Kādam mazākajam naturālajam skaitlim \(n\) piemīt šāda īpašība: vienalga kādā veidā nokrāsojot dažus no naturālajiem skaitļiem \(1;\ 2;\ 3;\ \ldots;\ n\) baltus, bet pārējos - sarkanus, vienādojumam \(x+y+z=t\) eksistē atrisinājums, kurā visu četru mainīgo vērtības ir vienā un tai pašā krāsā (starp šīm vērtībām var būt arī savā starpā vienādas)?

Eksāmenam tika sagatavoti \(8\) uzdevumi. Katram skolēnam iedeva \(3\) no tiem. Nav tādu divu skolēnu, kas būtu saņēmuši vairāk nekā vienu kopīgu uzdevumu. Kāds ir lielākais iespējamais skolēnu skaits?

Atrisināt vienādojumu \(x+y=1025\), ja \(x\) un \(y\) ir naturāli skaitļi - skaitļa \(640000\) dalītāji.

Divas riņķa līnijas iekšēji pieskaras punktā \(M\). Taisne \(t\) krusto tās punktos \(A,\ B,\ C,\ D\) (skat. 1.zīm.) Pierādīt, ka \(\sphericalangle AMB=\sphericalangle CMD\).

Trijstūra \(ABC\) ievilktās riņķa līnijas centrs ir \(I\). Uz taisnes \(AB\) atrasti tādi divi dažādi punkti \(C_{1}\) un \(C_{2}\), ka \(IC_{1}=IC_{2}=IC\); uz taisnes \(AC\) atrasti tādi divi dažādi punkti \(B_{1}\) un \(B_{2}\), ka \(IB_{1}=IB_{2}=IB\); uz taisnes \(BC\) atrasti tādi divi dažādi punkti \(A_{1}\) un \(A_{2}\), ka \(IA_{1}=IA_{2}=IA\).

Pierādīt, ka \(A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}=AB+BC+CA\).

Naturāli skaitļi \(m\) un \(n\) apmierina sekojošu īpašību: \(m\) dalās ar jebkuru no skaitļiem \(1;\ 2;\ 3;\ \ldots;\ n\), bet nedalās ne ar \(n+1\), ne ar \(n+2\), ne ar \(n+3\). Kādas ir iespējamās \(n\) vērtības?

Pierādīt, ka \(\left(1+\mbox{tg}\ 1^{\circ}\right)\left(1+\mbox{tg}\ 2^{\circ}\right)\left(1+\mbox{tg}\ 3^{\circ}\right) \ldots\left(1+\mbox{tg}\ 44^{\circ}\right)\left(1+\mbox{tg}\ 45^{\circ}\right)=2^{23}\)

Apzīmējam \(f(x)=x^{2}+px+q\). Zināms, ka vienādojumam \(f(x)=0\) ir divas saknes, no kurām viena atrodas starp \(0\) un \(1\), bet otra - nē. Pierādīt, ka \(f(q) \leq 0\).

Pierādīt, ka \(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2005}+\sqrt{2006}}>21,8\)

Trijstūrī \(ABC\) visas malas ir dažāda garuma un tajā ievilktās riņķa līnijas centrs ir \(I\). Ievilktā riņķa līnija pieskaras malām \(AB,\ BC,\ CA\) attiecīgi punktos \(D,\ E,\ F\).

(A) Pierādīt, ka \(\triangle CDI\) un \(\Delta DSI\) ir līdzīgi, ja \(S\) ir \(CI\) un \(EF\) krustpunkts,

(B) pieņemsim, ka \(K\) ir nogriežņa \(CD\) un ievilktās riņķa līnijas kopējais punkts, kas atšķiras no \(D\). Taisne, kas punktā \(K\) pieskaras ievilktajai riņķa līnijai, krusto taisni \(AB\) punktā \(G\). Pierādīt, ka \(GS \perp CI\).

Kādiem pirmskaitļiem \(p\) un \(q\), kas nepārsniedz \(100\), visi skaitļi \(p+6,\ p+10,\ q+4,\ q+10\) un \(p+q+1\) arī ir pirmskaitļi?

Skolā ir \(n\) skolnieki un \(m\) skolotāji. Ir zināms, ka katrs skolotājs māca tieši \(a\) skolniekus, \(a>1\), un katriem diviem dažādiem skolniekiem var atrast tieši \(b\) skolotājus, kuri māca abus šos skolniekus. Pierādīt, ka

\[\frac{m}{b}=\frac{n(n-1)}{a(a-1)}\]

Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu \((x+y)(xy+1)=2^{z}\).

Regulāra \(n\) - stūra \(A\) virsotnēs ierakstīti skaitļi: \(n-1\) virsotnē nulles, bet vienā virsotnē - vieninieks. Ar vienu gājienu atļauts izvēlēties jebkuru tādu regulāru daudzstūri \(D\), kura visas virsotnes ir \(n\)-stūra \(A\) virsotnēs, un visiem skaitļiem daudzstūra \(D\) virsotnēs pieskaitīt \(1\). Kādiem \(n\), atkārtojot šādus gājienus, iespējams panākt, lai visās \(n\)-stūra \(A\) virsotnēs būtu ierakstīti vienādi skaitļi?

Reālu skaitļu virknē \((a_{n})\), \(n=1;\ 2;\ 3;\ \ldots\), pirmo locekli \(a_{1}\) izvēlas patvaļīgi, bet katru nākošo aprēķina pēc formulas \(a_{n+1}=a_{n}\left(a_{n}+2\right)\), \(n=1;\ 2;\ 3;\ \ldots\). Kādas vērtības var pieņemt \(a_{2006}\)?

Deviņos traukos pavisam kopā ir \(36\) litri ūdens. Ūdeni, kas ir \(1.\) traukā, sadalīja \(8\) vienādās daļās un šīs daļas ielēja pārējos \(8\) traukos (pa vienai daļai katrā traukā). Pēc tam to pašu izdarīja ar ūdeni, kas bija \(2.\) traukā, \(3.\) traukā, \(\ldots\), \(8.\) traukā, \(9.\) traukā. Izrādījās, ka tagad katrā traukā ir tikpat ūdens, cik tur bija sākumā. Cik litru ūdens sākumā bija katrā traukā?

Funkcija \(f(x)\) definēta pie \(0 \leq x \leq 1\). Zināms, ka \(f(0)=f(1)=0\) un visiem \(x\) un \(y\) no intervāla \([0;\ 1]\) pastāv nevienādība

\[f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leq f(x)+f(y)\]

**(A)** Pierādīt: vienādojumam \(f(x)=0\) ir bezgalīgi daudz atrisinājumu, **(B)** vai eksistē tāda funkcija, kas apmierina uzdevuma nosacījumus un starp kuras vērtībām ir tādas, kas atšķiras no \(0\)?

Kādā valstī ir \(100\) pilsētas. Starp dažām no tām noorganizēti avioreisi. Starp katrām divām pilsētām ir augstākais viens reiss. Katrs reiss savieno tikai \(2\) pilsētas, pa ceļam nenolaižoties citās. Katrs reiss "darbojas" abos virzienos. Reisus organizē \(90\) aviokompānijas. Katra aviokompānija organizē tieši \(30\) reisus. Ja kompānija organizē reisu starp kādām divām pilsētām (apzīmēsim tās ar \(A\) un \(B\)), tad tai ir biroji gan pilsētā \(A\), gan pilsētā \(B\). Pierādīt, ka ir tāda pilsēta, kurā ir vismaz \(9\) biroji.