Kādā kolektīvā katram cilvēkam ir tieši \(3\) draugi (ja \(A\) ir \(B\) draugs, tad arī \(B\) ir \(A\) draugs). Nav tādu triju cilvēku, kas visi savā starpā draudzētos. Kāds ir mazākais iespējamais cilvēku skaits šajā kolektīvā?

Rinķa līnijā ievilkts kvadrāts \(ABCD\). Punkts \(M\) atrodas uz mazākā no lokiem \(CD\) un nesakrīt ne ar \(C\), ne ar \(D\). Taisne \(AM\) krusto taisnes \(BD\) un \(CD\) attiecīgi punktos \(P\) un \(R\). Taisne \(BM\) krusto taisnes \(AC\) un \(DC\) attiecīgi punktos \(Q\) un \(S\). Pierādiet, ka \(PS \perp QR\).

Tabulā ir divas rindas un \(n\) kolonnas (skat. 1.zīm.)

Katrā rindā jāieraksta visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(n\) ieskaitot (katrs vienu reizi) tā, lai katrā kolonnā ierakstīto skaitļu summa būtu kaut kāda naturāla skaitļa reizinājums pašam ar sevi. Vai to var izdarīt, ja (A) \(n=11\), (B) \(n=13\)?

Stars \(t\) ir \(\triangle ABC\) leņķa \(A\) bisektrise. Tā krusto malu \(BC\) punktā \(K\). Punkti \(M\) un \(N\) ir to perpendikulu pamati, kas no \(B\) un \(C\) vilkti pret \(t\) (\(M\) un \(N\) nesakrīt). Tā perpendikula pamats, kas no \(K\) vilkts pret \(AC\), ir \(S\). Pierādīt, ka \(\sphericalangle MSK=\sphericalangle NSK\).

Atrodiet lielāko \(12\)-ciparu skaitli ar īpašību: katri divi blakus uzrakstīti cipari veido pirmskaitli, un visi šie \(11\) pirmskaitļi ir dažādi.

Koordinātu plaknē uzzīmēts funkcijas \(y=x^{4}-2x^{2}+7\) grafiks un taisne, kas krusto šo grafiku \(4\) dažādos punktos. Pierādīt, ka krustpunktu abscisu summa ir \(0\).

Gunārs un Dzintars pamīšus raksta uz tāfeles pa vienam naturālam skaitlim, kas nepārsniedz \(1000\). Sāk Dzintars, uzrakstot skaitli \(1\). Neviens jau uzrakstīts skaitlis netiek nodzēsts; nevienu skaitli nedrīkst rakstīt otrreiz.

Ja kaut kāds skaitlis \(x\) jau ir uz tāfeles, tad ar kārtējo gājienu drīkst uzrakstīt vai nu \(x+1\), vai \(2x\) (ja izvēlētais rakstāmais skaitlis nepārsniedz \(1000\)). Tas, kurš uzraksta \(1000\), uzvar. Kurš no zēniem uzvar, pareizi spēlējot?

Dotas \(8\) pēc ārējā izskata vienādas monētas. Ir zināms, ka vai nu visām tām masas ir vienādas, vai arī \(4\) monētām ir viena masa, bet \(4\) monētām - cita masa. Kā ar \(3\) svēršanām uz sviras svariem bez atsvariem var noskaidrot, kura no iespējām pastāv īstenībā?

Dots, ka \(a,\ b\) un \(c\) - pozitīvi skaitļi. Pierādīt, ka vismaz viens no skaitļiem \(\frac{a}{bc+1},\ \frac{b}{ac+1},\ \frac{c}{ab+1}\) nepārsniedz \(\frac{1}{2}\).

Uz katras no \(n\) kartiņām uzrakstīts pa naturālam skaitlim (starp tiem var būt arī vienādi). Zināms, ka vienlaicīgi izpildās šādas īpašības:

• starp uzrakstitajiem skaitļiem ir vismaz \(5\) dažādi,
• katrām divām kartiņām (apzīmēsim tās ar \(A\) un \(B\)) var atrast divas citas kartiņas (apzīmēsim tās ar \(C\) un \(D\)) tā, ka to skaitļu summa, kas uzrakstīti uz \(A\) un \(B\), vienāda ar to skaitļu summu, kas uzrakstīti uz \(C\) un \(D\).

Pierādiet, ka mazākā iespējamā \(n\) vērtība ir \(13\).

Ja \(a\) - reāls skaitlis, tad ar \([a]\) apzīmē lielāko veselo skaitli, kas nepārsniedz \(a\) (skaitļa \(a\) veselo daļu). Piemēram, \([4,8]=4;\ [-3,3]=-4;\ [5]=5\).

Savukārt pēc definīcijas \(\{a\}=a-[a]\) (skaitļa \(a\) daļveida daļa). Piemēram, \(\{4,8\}=0,8;\ \{-3,3\}=0,7;\ \{5\}=0\).

Atrisināt reālos skaitļos vienādojumu sistēmu

\[\left\{\begin{array}{l} {[x]+\{y\}=z} \\ {[y]+\{z\}=x} \\ {[z]+\{x\}=y} \end{array}\right.\]

Kādā kolbā atrodas pa \(10\) baltām, sarkanām un zaļām amēbām. Ja satiekas tieši divas dažādu krāsu amēbas, tad tās saplūst un no tām izveidojas viena trešās krāsas amēba. Vai var gadīties, ka traukā paliek tikai viena amēba?

Kuri naturālie skaitļi \(x\) apmierina vienlaicīgi visas sekojošās prasības:

• \(x \leq 2006\),
• \(x\) dalās ar \(5\),
• \(x+1\) dalās ar \(7\),
• \(x+2\) dalās ar \(9\),
• \(x+3\) dalās ar \(11\)?

Pa apli izvietotas \(n\) spuldzes; sākotnēji tās visas ir izslēgtas. Viena spuldze apzīmēta ar \(S\). Atrodam visus skaitļa \(n\) pozitīvos dalītājus, ieskaitot \(1\) un \(n\). Katram šādam dalītājam \(d\) veicam sekojošu operāciju: mainām katras \(d\)-tās spuldzes stāvokli (sākot ar spuldzi \(S\)), pavisam izdarot \(n\) maiņas. (Piemēram, ja 2.zīm. attēlotajā situācijā pie \(n=6\) ņemts dalītājs \(d=3\), tad pakāpeniski mainīsim spuldžu \(S;\ C;\ S;\ C;\ S;\ C\) stāvokļus.)

Kurām \(n\) vērtībām, beidzot šīs darbības, visas spuldzes būs ieslēgtas?

Kvadrāts \(ABCD\) sastāv no \(n \times n\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām. Par "lēdiju" sauc figūru, kas var atrasties jebkurā rūtiņā; tā apdraud visas tās rūtiņas, kas atrodas ar to vienā horizontālē, vienā vertikālē un vienā "diagonālē", kura paralēla \(AC\) (skat. 1.zīm.)

Kādu mazāko lēdiju skaitu var novietot kvadrātā, lai visas neaizņemtās rūtiņas būtu apdraudētas?

Funkcija \(f(x)\) definēta visiem \(x \geq 0\). Ir zināms, ka funkcijas \(f(x)-x^{3}\) un \(f(x)-3x\) ir augošas visā definīcijas apgabalā. Pierādīt, ka funkcija \(f(x)-x^{2}-x\) ir augoša

(A) segmentā \([0;\ 1]\),

(B) visā definīcijas apgabalā.

Katram no diviem vienādiem regulāriem \(n\)-stūriem virsotnes kaut kādā kārtībā sanumurētas ar naturāliem skaitļiem no \(1\) līdz \(n\) (katrā \(n\)-stūrī visi numuri ir dažādi).

Noskaidrojiet, vai noteikti katrā \(n\)-stūrī var izvēlēties \(3\) virsotnes tā, ka vienlaicīgi izpildās sekojošas īpašības:

• abos \(n\)-stūros izvēlētas virsotnes ar vieniem un tiem pašiem numuriem,
• pirmajā \(n\)-stūrī izvēlēto virsotņu veidotais trijstūris un otrajā \(n\)-stūrī izvēlēto virsotņu veidotais trijstūris abi ir viena tipa: vai nu abi ir šaurleņķu, vai abi taisnleņķa, vai abi platleņķa.

Atbildiet uz šo jautājumu, ja (A) \(n=5\); (B) \(n=2006\).

Andrim, Dzintaram un Gunāram ir liels daudzums zīmīšu. Uz katras zīmītes ir uzrakstīts viens no skaitļiem \(2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6;\ 7;\ 8\). Maija uzlīmēja katram no viņiem uz pieres pa vienai zīmītei. Katrs zēns redz zīmītes uz abu draugu pierēm, bet neredz zīmīti uz savas pieres. Maija, visiem dzirdot, paziņoja: "Ne visi skaitļi uz jūsu pierēm ir dažādi. Visu triju skaitļu reizinājums ir vesela skaitļa kvadrāts."

Vai zēni nesarunājoties var noskaidrot, kādi skaitļi ir uz viņu pierēm?

Šaurleņķu trijstūra \(ABC\) iekšpusē atrodas punkts \(P\). Stari \(AP,\ BP,\ CP\) krusto attiecīgi malas \(BC,\ AC,\ AB\) attiecīgi punktos \(A_{1},\ B_{1},\ C_{1}\). Pierādīt: ap abiem četrstūriem \(ABA_{1}B_{1}\) un \(ACA_{1}C_{1}\) var apvilkt riņķa līnijas tad un tikai tad, ja \(P\) ir \(\triangle ABC\) augstumu krustpunkts.

Kuri naturālie skaitļi ir vienādi ar trīs savu dažādu pozitīvu dalītāju summu?

Ap galdu sēž \(7\) cilvēki. Katriem trim pie galda sēdošiem cilvēkiem var atrast tādu pie galda sēdošu cilvēku, kurš pazīst tos visus trīs. Pierādīt: pie galda ir tāds cilvēks, kurš pazīst visus pārējos ap galdu sēdošos.

(\(\underline{Piezīme:}\) ja \(A\) pazīst \(B\), tad arī \(B\) pazīst \(A\).)

Jānis sadala \(a\) metrus garu nogriezni \(3\) mazākos nogriežņos; pēc tam Pēteris sadala \(b\) metrus garu nogriezni \(3\) mazākos nogriežnos. Pēteris grib, lai no iegūtajiem \(6\) nogriežņiem varētu vienlaicīgi salikt divu trijstūru kontūras, skat. 2.zīm.; Jānis cenšas to nepieļaut. Kurš no zēniem var sasniegt savu mērķi? (Atbilde varbūt ir atkarīga no \(a\) un \(b\) vērtībām.)

No četrciparu skaitļa \(A\) atņemot trīsciparu skaitli \(B\), iegūst \(8002\). Šos pašus skaitļus \(A\) un \(B\) saskaitot, iegūst piecciparu skaitli. Atrast \(A\) un \(B\).

Kādā valstī lieto \(1;\ 2;\ 3;\ 5;\ 8;\ 10;\ 15;\ 20;\ 25;\ 29;\ 43;\ 50;\ 60;\ 68;\ 75;\ 100\) santīmu monētas. Naudas automāts samaina jebkuru vienu monētu pret jebkurām \(4\) monētām (pēc mūsu izvēles) ar tādu pašu kopējo vērtību kā maināmajai monētai. Vai var ar šī automāta palīdzību samainīt vienu \(100\) santīmu monētu \(100\) viena santīma monētās?

Dots, ka \(ABCD\) - paralelograms. Taisne \(t\) ir paralela diagonālei \(BD\) un krusto malu \(AB\) punktā \(M\), bet malu \(AD\) - punktā \(K\). Pierādīt, ka trijstūru \(BMC\) un \(KCD\) laukumi ir vienādi.

Ja nevarat atrisināt uzdevumu vispārīgajā gadījumā, apskatiet gadījumu, kad \(ABCD\) - kvadrāts (protams, iegūto punktu skaits tad būs mazāks).

Kuriem pirmskaitļiem \(p\) piemīt īpašība: skaitlim \(p^{2}+11\) ir mazāk nekā \(11\) naturālu dalītāju?

Vai var izrakstīt rindā visus naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(2006\) ieskaitot katru vienu reizi tā, lai katru \(3\) pēc kārtas uzrakstīto skaitļu summa dalītos ar \(4\)?

Ir zināms, ka visiem \(x\) pastāv vienādība \(x^{4}+64=\left(x^{2}-4x+8\right) \cdot A\), kur \(A\) ir izteiksme, kas izveidota no \(x\) un naturāliem skaitļiem ar saskaitīšanas, atņemšanas un reizināšanas operāciju palīdzību. Atrast \(A\).

Vai var uz taisnes izvietot \(5\) punktus \(A,\ B,\ C,\ D,\ E\) (varbūt citādā kārtībā) tā, ka \(AB=1,\ BC=3,\ CD=5,\ DE=7,\ EA=9\)?

Ir \(2006\) pēc ārējā izskata vienādas monētas. Dažas (vismaz viena) ir īstas un dažas (vismaz viena) ir viltotas. Visām īstajām monētām ir vienādas masas; arī visām viltotajām monētām ir vienādas masas. Viltotās monētas ir vieglākas par īstajām. Kā, izmantojot sviras svarus bez atsvariem, ar \(1004\) svēršanām noskaidrot, cik ir viltoto monētu?

Parādīt, ka trijstūri var sagriezt (A) četros, (B) sešos trijstūros tā, ka neviena griežot iegūtā trijstūra mala pilnībā nesakrīt ne ar vienu citu griežot iegūtā trijstūra malu.

No \(9\) dažādiem nenulles cipariem, katru izmantojot tieši vienu reizi, izveidoti \(5\) naturāli skaitļi. Mazākais no tiem ir visu četru pārējo skaitļu dalītājs. Kāds var būt šis mazākais skaitlis?

Kādā ciemā dzīvo \(n\) pļāpas; katrai mājās ir telefons. Šodien katra pļāpa piezvanīja vismaz vienai citai. Starp katrām divām pļāpām notika tieši viena saruna. Pierādīt: var atrast trīs tādas pļāpas \(A,\ B\) un \(C\), ka \(A\) piezvanīja \(B,\ B\) piezvanīja \(C\) un \(C\) piezvanīja \(A\).

Apskatām visus naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(200\) ieskaitot.

(A) vai no tiem var izvēlēties \(101\) skaitli tā, lai neviens izvēlētais skaitlis nebūtu divu citu izvēlēto skaitļu starpība?

(B) vai tā var izvēlēties \(102\) skaitļus?

Uz katras no \(100\) kartiņām ir pa naturālam skaitlim no \(1\) līdz \(100\) ieskaitot (visi skaitļi uz kartiņām ir dažādi). Daļa kartiņu ir Juliatai, pārējās - Maijai. Zināms: ja paņem pa vienai kartiņai no katras meitenes, tad uz tām uzrakstīto skaitļu summa nav ne uz vienas Juliatas kartiņas, bet uz tām uzrakstīto skaitļu reizinājums nav ne uz vienas Maijas kartiņas. Maijai nav kartiņas ar skaitli \(13\). Cik kartiņu ir Maijai?

Doti \(6\) viens otram sekojoši naturāli skaitļi. Pierādīt: eksistē pirmskaitlis, ar kuru dalās tieši viens no šiem skaitļiem.

Plaknē atzīmēti \(5\) punkti. Cik var būt trijstūru, kam visas virsotnes atrodas šajos punktos?

Par stūrīti sauc no \(3\) vienādiem kvadrātiem sastāvošu figūru, kas redzama 3.zīm. Kvadrāta malas garums ir \(1\).

Vai taisnstūri ar izmēriem (A) \(8 \times 8\), (B) \(12 \times 12\), (C) \(5 \times 9\) var sagriezt stūrīšos?

Uz tāfeles uzrakstīta burtu virkne \(\mathbf{abababababa}\). Ar vienu gājienu atļauts izvēlēties jebkuru daudzumu pēc kārtas uzrakstītu burtu, nodzēst tos un atbrīvotajā vietā uzrakstīt šos pašus burtus apgrieztā secībā (piemēram, \(abb\) var aizstāt ar \(bba\)).

Ar kādu mazāko daudzumu gājienu, izpildot tos vienu pēc otra, var uz tāfeles iegūt virkni \(\mathbf{aaaaabbbbb}\)?

Parlamentā ir \(100\) deputātu. Ir zināms, ka nevienam deputātam nav aizspriedumu pret vairāk nekā \(5\) citiem deputātiem. (Ja \(A\) ir aizspriedumi pret \(B\), tad \(B\) var arī nebūt aizspriedumu pret \(A\).)

Kāds ir mazākais komisiju skaits, kurās noteikti var sadalīt jebkura šāda parlamenta deputātus (katram deputātam jāpiedalās vismaz vienā komisijā) tā, ka nevienā komisijā nevienam deputātam nav aizspriedumu ne pret vienu citu?