Dots, ka \(ABC\) ir vienādsānu taisnleņķa trijstūris, \(AB=AC\). Uz \(AB\) ņemti tādi iekšēji punkti \(P\) un \(M\), ka \(AM=BP\). Ar \(D\) apzīmējam \(BC\) viduspunktu. Punkts \(R\) atrodas uz \(CM\) un punkts \(Q\) atrodas uz \(BC\). Ir zināms, ka \(A,\ R,\ Q\) ir uz vienas taisnes un \(AQ \perp CM\) (skat. 3.zīm.).

Pierādīt, ka (A) \(\sphericalangle AQC=\sphericalangle PQB\); (B) \(\sphericalangle DRQ=45^{\circ}\).

Dots, ka \(ABCD\) un \(CEFG\) ir kvadrāti, \(M\) ir \(BG\) viduspunkts un \(N\) ir \(DE\) viduspunkts (skat. 2.zīm.). Pierādīt, ka nogriežņi \(CM\) un \(CN\) ir savā starpā vienādi un perpendikulāri.

Par skaitļu virkni \(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots\) zināms, ka

• \(x_{1}=1\)
• \(x_{2n}=1+x_{n}\) visiem naturāliem \(n\)
• \(x_{2n+1}=\frac{1}{x_{2n}}\) visiem naturāliem \(n\).

(A) Pierādiet, ka visi virknes locekļi ir dažādi.
(B) Kuri skaitļi ir šīs virknes locekļi?

Dots, ka \(B\) - naturāls skaitlis, \(A=7 \cdot B\) un \(A\) ciparu summa divas reizes lielāka par \(B\) ciparu summu. Skaitli \(C\) iegūst, pierakstot skaitlim \(A\) galā skaitli \(B\).

(A) atrast kaut vienu šādu \(C\),
(B) pierādīt, ka šādu \(C\) ir bezgalīgi daudz,
(C) pierādīt, ka katrs šāds \(C\) dalās ar \(9\),
(D) vai \(C\) noteikti dalās ar \(27\)?

Dots, ka \(x,\ y,\ z\) un \(t\) ir reāli skaitļi, no kuriem neviens nav \(0\). Zināms, ka \(x+y+z=t\), \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{t}\) un \(x^{3}+y^{3}+z^{3}=1000^{3}\).

(A) atrast kaut vienu šādu \(x,\ y,\ z,\ t\) komplektu,

(B) aprēķināt \(x+y+z+t\).

Dots, ka \(a\) un \(b\) - tādi reāli skaitļi, ka \(a+b\) ir vesels skaitlis un \(a^{2}+b^{2}=2\). Atrast visus šādus \(a\) un \(b\) pārus un pierādīt, ka citu bez Jūsu atrastajiem nav.

No punkta regulāra trijstūra \(ABC\) iekšpusē vilkti perpendikuli pret tā malām. Šis punkts savienots arī ar trijstūra virsotnēm. Iegūtajos \(6\) taisnleņķa trijstūros ievilktas riņķa līnijas. Apzīmēsim \(i\)-tajā trijstūrī ievilktās riņķa līnijas rādiusu ar \(r_{i}\) (skat. 4.zīm.).

Pierādīt, ka \(r_{1}+r_{3}+r_{5}=r_{2}+r_{4}+r_{6}\).

Pa riņķa līniju izrakstīti naturāli skaitļi no \(1\) līdz \(n\) ieskaitot, katrs vienu reizi. Katriem diviem blakus uzrakstītiem skaitļiem atrodam to starpības absolūto vērtību. Atrast šo absolūto vērtību summas mazāko un lielāko iespējamo vērtību.

Katrs naturāls skaitlis no \(1\) līdz \(2005\) ieskaitot nokrāsots vienā no \(n\) krāsām. Ir zināms: ja \(a,\ b\) un \(c\) ir dažādi skaitļi, \(a\) dalās ar \(b\) un \(b\) dalās ar \(c\), tad \(a,\ b\) un \(c\) nav visi nokrāsoti vienā un tai pašā krāsā. Atrast mazāko iespējamo \(n\) vērtību.

Kādām funkcijām \(f\) vienlaicīgi piemīt sekojošas īpašības:

a. \(f\) definīcijas apgabals ir \(\{1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6;\ 7;\ 8;\ 9;\ 10\}\), b. \(f\) vērtības ir naturāli skaitļi, kas nepārsniedz \(100\), c. \(f\) ir augoša funkcija, d. visiem \(x\) un \(y\) no definīcijas apgabala skaitlis \(x \cdot f(x)+y \cdot f(y)\) dalās ar \(x+y\)?

Dots, ka \(p\) - pirmskaitlis. Pierādīt, ka apgalvojumi "eksistē tāds vesels \(x\), ka \(x^{2}+x+3\) dalās ar \(p\)" un "eksistē tāds vesels \(y\), ka \(y^{2}+y+25\) dalās ar \(p\)" vai nu abi ir pareizi, vai abi - nepareizi.

Ar \(\{x\}\) apzīmē starpību starp \(x\) un lielāko veselo skaitli, kas nepārsniedz \(x\). Piemēram, \(\{1,6\}=0,6;\ \{3\}=0,\ \{-0,8\}=0,2\).

(A) atrast kaut vienu tādu racionālu skaitli \(x\), ka \(\left\{x^{2}\right\}+\{x\}=0,99\),

(B) pierādīt, ka šādu racionālu \(x\) ir bezgalīgi daudz.

Kādām \(a\) vērtībām vienādojumam

\[4^{x}-\left(a^{2}+3a-2\right) \cdot 2^{x}+3a^{3}-2a^{2}=0\]

ir viens vienīgs atrisinājums reālos skaitļos?

Uz trapeces \(ABCD\) garākā pamata \(AD\) ņemti tādi divi iekšēji punkti \(M\) un \(N\), ka \(BM \parallel CN\). Pierādīt, ka daļu \(1,\ 2\) un \(3\) laukumu summa vienāda ar daļas \(4\) laukumu (skat. 1.zīm.).

Katra no regulāra \(1000\)-stūra virsotnēm nokrāsota balta, sarkana vai zaļa. Ar vienu gājienu atļauts izvēlēties divas blakus esošas virsotnes, kas nokrāsotas dažādās krāsās, un pārkrāsot tās abas trešajā krāsā. Pierādiet, ka

• var panākt, lai visas virsotnes būtu nokrāsotas vienā un tai pašā krāsā,
• šī "beigu krāsa" viennozīmīgi atkarīga no sākotnējā krāsojuma.

Uz riņķa līnijas \(w\) ar centru \(O\) izvēlēti divi punkti \(A\) un \(B\) tā, ka \(AB\) nav diametrs. Uz trijstūrim \(OAB\) apvilktās riņķa līnijas izvēlēts punkts \(C\), kas nesakrīt ne ar \(A\), ne ar \(B\). Taisne \(AC\) krusto \(w\) punktos \(A\) un \(D\). Pierādiet, ka \(DCB\) ir vienādsānu trijstūris.

Dots, ka \(x\) un \(y\) ir reāli skaitļi, \(3^{x}+13^{y}=17^{x}\) un \(5^{x}+7^{y}=11^{y}\). Pierādīt, ka \(x<y\).

Ap galdu sēž \(8\) bērni. Katriem trīs pēc kārtas sēdošiem bērniem kopā ir nepāra skaits konfekšu. Pierādīt, ka katram bērnam ir vismaz viena konfekte.

Apskatām kubu, kura divās virsotnēs ierakstīts \(1\), bet citās virsotnēs ierakstītas nulles. Ar vienu gājienu var izvēlēties vienu virsotni \(X\) un pieskaitīt vieniniekus skaitļiem tajās \(3\) virsotnēs, ko ar \(X\) savieno šķautne. Atkārtojot šādus gājienus, jāpanāk, lai skaitļi visās kuba virsotnēs kļūtu vienādi. Kuriem sākotnējiem vieninieku izvietojumiem to var izdarīt?

Kādā universitātē strādā \(n\) profesori, \(n \geq 2\). Katrs profesors lasa lekcijas. Daži no viņiem klausās citu profesoru lekcijas. Ir zināms, ka

• neviens neklausās savas lekcijas,
• ja \(A\) klausās \(B\) lekcijas, tad \(B\) neklausās \(A\) lekcijas,
• ja \(A\) ir profesors un \(B\) ir profesors, tad var atrast tādu profesoru \(C\), kas klausās gan \(A\) lekcijas, gan \(B\) lekcijas.

(A) Pierādiet: var gadīties, ka \(n=7\).

(B) Kādas vēl var būt \(n\) vērtības?