Naturālu skaitli sauc par palindromu, ja tā decimālais pieraksts ir simetrisks. Piemēram, palindromi ir \(11;\ 505;\ 4774\) utt.

Visi palindromi, sākot ar \(11\), izrakstīti virknē augošā secībā. Kāda var būt blakus uzrakstītu palindromu starpība, ja zināms, ka tā ir pirmskaitlis?

Aplūkosim visus kvadrātvienādojumus ar reāliem koeficientiem \(x^{2}+px+q=0\), kam ir vismaz viena reāla sakne un kam \(|p| \leq 1\) un \(|q| \leq 1\). Kādu apgabalu uz skaitļu ass aizpilda visu šo kvadrātvienādojumu visas saknes?

Sauksim naturālu skaitli par labu, ja, atņemot no šī skaitļa tā ciparu reizinājumu, iegūst tā ciparu summu. Kuri divciparu naturāli skaitļi ir labi?

Uz tāfeles uzrakstīti \(2004\) skaitļi; viens no tiem ir \(1\). Ar vienu gājienu atļauts nodzēst vienu skaitli un tā vietā uzrakstīt skaitli \(a+b-c\), kur \(a,\ b\) un \(c\) - kaut kādi trīs no nenodzēstajiem skaitļiem. Vai, atkārtojot šādus gājienus vairākas reizes, var panākt, lai uz tāfeles vienlaicīgi būtu uzrakstīti \(2004\) skaitļi, kas visi vienādi ar \(1\)?

Ap galdu sēž \(7\) cilvēki. Katriem trim pie galda sēdošiem cilvēkiem var atrast tādu pie galda sēdošu cilvēku, kurš pazīst tos visus trīs. Pierādīt: pie galda ir tāds cilvēks, kurš pazīst visus pārējos ap galdu sēdošos.

(\(\underline{Piezīme:}\) ja \(A\) pazīst \(B\), tad arī \(B\) pazīst \(A\).)

Riņķa līnijas \(W_{1}\) diametram \(AB\) pieskaras otra riņķa līnija \(W_{2}\), kuras centrs atrodas uz \(W_{1}\). Pierādīt: pieskares, kas no \(A\) un \(B\) vilktas riņķa līnijai \(W_{2}\) un kas nesakrīt ar \(AB\), ir paralēlas savā starpā.

Nekādas trīs piecstūra virsotnes neatrodas uz vienas taisnes. Kādā lielākajā un kādā mazākajā skaitā punktu var krustoties piecstūra diagonāles? (Atceramies, ka piecstūris var arī nebūt izliekts.)

Atrisināt vienādojumu \(x^{3}-13 \sqrt[3]{13x-12}+12=0\) reālos skaitļos.

Kvadrāts sastāv no \(7 \times 7\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām. Griežot pa rūtiņu līnijām, tas jāsagriež gabalos, no kuriem nekādi divi nav vienādi. Kāds ir lielākais iespējamais gabalu skaits? (Divus gabalus, kas ir viens otra spoguļattēli, uzskata par vienādiem.)

Kādā kolektīvā katram cilvēkam ir tieši \(3\) draugi (ja \(A\) ir \(B\) draugs, tad arī \(B\) ir \(A\) draugs). Nav tādu triju cilvēku, kas visi savā starpā draudzētos. Kāds ir mazākais iespējamais cilvēku skaits šajā kolektīvā?

Kvadrāts sastāv no \(8 \times 8\) rūtiņām. Katrā rūtiņā ierakstīts naturāls skaitlis no \(1\) līdz \(64\) (visi skaitļi ir dažādi). Vai var gadīties, ka katrā rindā un katrā kolonnā atradīsies trīs tādi dažādi skaitļi, no kuriem viens vienāds ar abu pārējo reizinājumu?

Dots, ka \(a<b<c<d<e\) - naturāli skaitļi. Pie stacijas automašīnā iekrauj \(a+b+c+d+e\) saiņus. No tiem \(a\) saiņi jāaizved uz \(a~\mathrm{km}\) attālo ciemu \(A\), \(b\) saiņi - uz \(b~\mathrm{km}\) attālo ciemu \(B,\ \ldots,\ e\) saiņi - uz \(e~\mathrm{km}\) attālo ciemu \(E\). Pieejami tikai tādi ceļi, kas savieno staciju ar ciemiem, pie tam uz katru ciemu no stacijas ved cits ceļš (tātad pēc katra ciema apmeklēšanas jāatgriežas pie stacijas, pirms var braukt uz nākošo ciemu). Katram ciemam paredzētos saiņus drīkst izkraut no mašīnas tikai šajā ciemā. Viena saiņa pārvadāšana \(1~\mathrm{km}\) attālumā izmaksā \(1\) latu; braukšana bez saiņiem nemaksā neko. Kādā secībā jāapmeklē ciemi, lai kopējās pārvadājumu izmaksas būtu vismazākās iespējamās? (Ja mazākās izmaksas sasniedzamas vairāk nekā vienā veidā, tad jāuzrāda tos visus.)

Andris izvēlējās \(5\) dažādus naturālus skaitļus un katriem diviem izvēlētajiem skaitļiem aprēķināja to summu. Kādu daudzumu dažādu summu Andris varēja iegūt?

Parlamentā ir \(100\) deputātu. Ir zināms, ka nevienam deputātam nav aizspriedumu pret vairāk nekā \(2\) citiem deputātiem. (Ja \(A\) ir aizspriedumi pret \(B\), tad \(B\) var arī nebūt aizspriedumu pret \(A\).)

Kāds ir mazākais komisiju skaits, kurās noteikti var sadalīt jebkura šāda parlamenta deputātus (katram deputātam jāpiedalās vismaz vienā komisijā) tā, ka nevienā komisijā nevienam deputātam nav aizspriedumu ne pret vienu citu?

Nogriežņu \(AB,\ BC,\ CD,\ DA,\ BD\) garumi ir \(2 \mathrm{~cm},\ 3 \mathrm{~cm},\ 4 \mathrm{~cm},\ 7 \mathrm{~cm},\ 10 \mathrm{~cm}\) (varbūt citā secībā). Nekādi \(3\) no punktiem \(A,\ B,\ C,\ D\) neatrodas uz vienas taisnes.

Cik garš ir nogrieznis \(BD\)?

Katram no diviem vienādiem regulāriem \(n\)-stūriem virsotnes kaut kādā kārtībā sanumurētas ar naturāliem skaitļiem no \(1\) līdz \(n\) (katrā \(n\)-stūrī visi numuri ir dažādi).

Noskaidrojiet, vai noteikti katrā \(n\)-stūrī var izvēlēties \(3\) virsotnes tā, ka vienlaicīgi izpildās sekojošas īpašības:

• abos \(n\)-stūros izvēlētas virsotnes ar vieniem un tiem pašiem numuriem,
• pirmajā \(n\)-stūrī izvēlēto virsotnu veidotais trijstūris un otrajā \(n\)-stūrī izvēlēto virsotnu veidotais trijstūris abi ir viena tipa: vai nu abi ir šaurleņķu, vai abi taisnleņķa, vai abi platleņķa.

Atbildiet uz šo jautājumu, ja (A) \(n=5\); (B) \(n=6\).

Atrast izteiksmes

\[|x+1|+|x-3|+|x+1|-|x-3|\]

mazāko iespējamo vērtību.

Vai naturālos skaitļus

(A) no \(1\) līdz \(12\) ieskaitot,

(B) no \(1\) līdz \(13\) ieskaitot

var sadalīt grupās tā, lai katras grupas skaitļu summa dalītos ar \(3\)?

Kvadrāts sastāv no \(15 \times 15\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām. No tā jāizgriež taisnstūrus ar izmēriem \(1 \times 9\) rūtiņas. Kādu lielāko daudzumu šādu taisnstūru var izgriezt?

Vai naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(20\) ieskaitot var izrakstīt katru tieši vienu reizi

(A) rindā,
(B) pa apli

tā, lai katru divu blakus uzrakstītu skaitļu starpība būtu vismaz \(10\)?

Dots, ka \(a\) un \(b\) - kaut kādi reāli skaitļi. Pierādīt, ka

\[a^{2}+a b+b^{2} \geq 9(a+b-3)\]

Šajā uzdevumā runājam par funkcijām, kas definētas visiem \(x\). Pieņemsim, ka \(y=f(x)\) un \(y=g(x)\) abas ir lineāras funkcijas.

(A) vai var gadīties, ka \(y=f(x)+g(x)\) nav lineāra funkcija?

(B) vai var gadīties, ka \(y=f(x) \cdot g(x)\) ir lineāra funkcija?

Uz tāfeles uzrakstīta burtu virkne \(\mathbf{abababababa}\). Ar vienu gājienu atļauts izvēlēties jebkuru daudzumu pēc kārtas uzrakstītu burtu, nodzēst tos un atbrīvotajā vietā uzrakstīt šos pašus burtus apgrieztā secībā (piemēram, \(abb\) var aizstāt \(arbba\)).

Ar kādu mazāko daudzumu gājienu, izpildot tos vienu pēc otra, var uz tāfeles iegūt virkni \(\mathbf{aaaaabbbbb}\)?

Katra kuba skaldne sadalīta \(4\) vienādos kvadrātiņos. Vai kuba virsmu var pilnībā aplīmēt ar sešām tādām figūrām, kāda redzama 1.zīm.? (Rūtiņas, no kurām sastāv šī figūra, ir tikpat lielas kā tās, kurās sadalīta kuba virsma.)

Jānis sadala \(a\) metrus garu nogriezni \(3\) mazākos nogriežņos; pēc tam Pēteris sadala \(b\) metrus garu nogriezni \(3\) mazākos nogriežņos. Pēteris grib, lai no iegūtajiem \(6\) nogriežņiem varētu vienlaicīgi salikt divu trijstūru kontūras, skat. 2.zīm.; Jānis cenšas to nepieļaut. Kurš no zēniem var sasniegt savu mērķi? (Atbilde varbūt ir atkarīga no \(a\) un \(b\) vērtībām.)

Kvadrāts \(ABCD\) sastāv no \(n \times n\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām, \(n>2\). Par "lēdiju" sauc figūru, kas var atrasties jebkurā rūtiņā; tā apdraud visas tās rūtiņas, kas atrodas ar to vienā horizontālē, vienā vertikālē un vienā "diagonālē", kura paralēla \(AC\) (skat. 1.zīm.)

Kādu mazāko lēdiju skaitu var novietot kvadrāta, lai visas neaizņemtās rūtiņas būtu apdraudētas?

Skaitļu virknē \(1;\ 1;\ 2;\ 3;\ 5;\ \ldots\) katrs loceklis, sākot ar trešo, vienāds ar abu iepriekšējo locekļu summu. Noskaidrot, vai ar \(6\) dalās

(A) virknes \(24\)-ais loceklis,
(B) virknes \(2004\)-ais loceklis.

Kvadrāts sastāv no \(9 \times 9\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām. Tajā iekrāsoti \(5\) taisnstūri, katrs no kuriem sastāv no \(4\) rūtiņām (šie taisnstūri nav kvadrāti).

Vai var gadīties, ka katram no \(2\) rūtiņām sastāvošam taisnstūrim ir vismaz viens kopīgs punkts ar kādu jau iekrāsoto taisnstūri?

Vai tā var gadīties, ja kvadrāta izmēri ir \(10 \times 10\) rūtiņas?

Dots, ka \(x\) - naturāls skaitlis. Kāds lielākais daudzums no skaitļiem

\[x;\ x+2;\ x+4;\ x+6;\ x+8\]

var vienlaicīgi būt pirmskaitļi?

Skaitļu virknē \(a_{1};\ a_{2};\ a_{3};\ \ldots\) zināms, ka \(a_{1}=60\) un \(a_{n+1}=a_{n}-\frac{1}{a_{n}}\) pie \(n \geq 1\), ja vien \(a_{n}\) ir definēts un \(a_{n} \neq 0\). Pierādīt:

(A) eksistē tāds \(k\), ka \(a_{k} \leq 0\),

(B) eksistē tāds \(k\), ka \(a_{k} \leq 0\) un \(k \leq 2004\).

Andrim ir trīsreiz mazāk naudas nekā Jānim un Pēterim kopā, bet Jānim ir četrreiz mazāk naudas nekā Andrim un Pēterim kopā. Kam ir vairāk naudas: Andrim vai Jānim?

Platleņķa trijstūrim \(ABC \left(\sphericalangle B>90^{\circ}\right.)\) apvilktā riņķa centrs ir \(O\).

Dots, ka \(\sphericalangle ACO=\sphericalangle ACB\). Pierādīt, ka \(\sphericalangle OBC<2 \sphericalangle OBA\).

Kādu mazāko daudzumu no skaitļiem \(1;\ 2;\ 3;\ \ldots;\ 14;\ 15\) var izsvītrot, lai katru divu atlikušo summa būtu salikts skaitlis?

Ir zināms, ka skaitļa \(2^{200}\) decimālajā pierakstā ir \(61\) cipars. Cik daudziem no skaitļiem \(2^{1};\ 2^{2};\ 2^{3};\ \ldots;\ 2^{199};\ 2^{200}\) decimālais pieraksts sākas ar ciparu \(1\)?

Atrast mazāko tādu naturālu skaitli \(n\), \(n>1\), ka katram veselam \(x\) skaitlis \(x^{n}-x\) dalās ar \(10\).

Dots, ka \(AB\) ir riņķa līnijas \(w_{1}\) diametrs, \(DC \perp AB\), bet riņķa līnija \(w_{2}\) pieskaras \(CD,\ AB\) un riņķa līnijai \(w_{1}\). Apzīmēsim \(w_{2}\) un \(AB\) pieskāršanās punktu ar \(E\) (skat. 2.zīm.).

(A) pieņemot, ka jau pierādīta vienādība \(AC=AE\), pierādīt: \(CE\) ir \(\sphericalangle BCD\) bisektrise,

(B) pierādi vienādību \(AC=AE\).

Kādu mazāko daudzumu no skaitļiem \(1;\ 2;\ 3;\ \ldots;\ 14;\ 15\) var izsvītrot, lai atlikušos varētu sadalīt divās grupās ar īpašību: vienas grupas visu skaitļu reizinājums vienāds ar otras grupas visu skaitļu reizinājumu?

Riņķī ievilkta četrstūra malu garumi ir \(1 \mathrm{~cm};\ 1 \mathrm{~cm};\ 2 \mathrm{~cm};\ 3 \mathrm{~cm}\) (ne noteikti šajā secībā). Kāds var būt šī četrstūra laukums?

Kvadrāts sastāv no \(3 \times 3\) rūtiņām. Katrā rūtiņā ierakstīts kaut kāds naturāls skaitlis (starp tiem var būt arī vienādi). Visās rindās un visās kolonnās ierakstīto skaitļu summas ir dažādas. Kāda ir mazākā iespējamā visā tabulā ierakstīto skaitļu summa?

Apzīmēsim \(f(x)=x^{2}+px+q\). Pieņemsim, ka \(a,\ b,\ c,\ d,\ e\) - kaut kādi skaitļi, pie tam \(a \neq b+c+d+e\). Dots, ka \(f(a)=f(b+c+d+e)\).

Vai noteikti jāizpildās vienādībām

\[f(a+b)=f(c+d+e),\ f(a+b+c)=f(d+e),\ f(e)=f(a+b+c+d)?\]