Pusriņķa līnijas diametrs ir \(AB\). Uz pusriņķa līnijas ņemti divi punkti \(M\) un \(N\), kas nesakrīt ne ar \(A\), ne ar \(B\). Stari \(AM\) un \(BN\) krustojas punktā \(O\).

Pierādīt: ap \(\triangle MNO\) apvilktās riņķa līnijas garums atkarīgs tikai no hordas \(MN\) garuma, nevis no tās novietojuma.

Dots, ka vienādojumam \(2x^{2}+\left(p_{1}+p_{2}\right) x+\left(q_{1}+q_{2}\right)=0\) eksistē atrisinājums. Pierādīt, ka vismaz vienam no vienādojumiem \(x^{2}+p_{1}x+q_{1}=0\) un \(x^{2}+p_{2}x+q_{2}=0\) arī eksistē atrisinājums.

Dots, ka \(A\) un \(B\) - naturāli divciparu skaitļi. Skaitli \(X\) iegūst, pierakstot skaitlim \(A\) galā skaitli \(B\); skaitli \(Y\) iegūst, pierakstot skaitlim \(B\) galā skaitli \(A\). Dots, ka \(X-Y\) dalās ar \(91\). Pierādīt, ka \(A=B\).

Dots, ka \(a\) un \(b\) - naturāli skaitļi un \(a+b\) ir nepāra skaitlis. Zināms, ka katrā skaitļu ass punktā ar veselu koordināti dzīvo pa rūķīitim: dažos punktos - votivapas, pārējos - šillišallas. Pierādīt, ka eksistē tādi divi vienas cilts rūķīši, attālums starp kuriem ir vai nu \(a\), vai \(b\).

Vai eksistē tāds naturāls skaitlis \(n\), ka \(2004^{n}-1\) dalās ar \(1500^{n}-1\)?

Ja skaitļi \(a\) un \(b\) ir dažādi, tad ar \(\max (a, b)\) apzīmējam lielāko no tiem.

Dots, ka skaitļi \(x;\ y;\ z;\ t;\ x+z;\ y+t\) visi ir dažādi un

\[\max (x, y)+\max (z, t)=\max (x+z;\ y+t)\]

Vai eksistē taisnstūris, kura malas iet pa rūtiņu līnijām un kuru var sagriezt tādās daļās, kādas attēlotas 2.zīm.? Jābūt vismaz vienai katra veida daļai.

Kādā komisijā strādā \(7\) diplomāti. Katri divi savā starpā sarunājas angļu, vācu vai franču valodā (tikai vienā). Katrs diplomāts ar \(2\) kolēģiem sarunājas angliski, ar \(2\) - vāciski, ar \(2\) - franciski. Pierādiet: var atrast \(3\) diplomātus, kas savā starpā sazinoties lieto visas \(3\) valodas.

Atrast mazāko pozitīvo skaitli \(a\), kam piemīt īpašība: ja \(x>y>a\), tad \(x^{2}-2x>y^{2}-2y\).

Sauksim naturālu skaitli par interesantu, ja tas nesatur ciparu \(0\) un tā pirmais cipars par \(2\) mazāks nekā visu citu ciparu summa.

(A) kāds ir mazākais interesantais piecciparu skaitlis?

(B) kāds ir lielākais interesantais skaitlis?

Dots, ka \(n\) - naturāls skaitlis.

(A) pierādīt, ka \(\sqrt{n^{2}+11n+30}\) nav naturāls skaitlis,
(B) atrast šī skaitļa pirmo ciparu aiz komata atkarībā no \(n\).

Dots, ka kvadrātvienādojuma \(x^{2}+px+q=0\) saknes ir \(x_{1}\) un \(x_{2}\), bet kvadrātvienādojuma \(x^{2}+ax+b=0\) saknes ir \(x_{1}^{2}\) un \(x_{2}^{2}\). Izsacīt \(a\) un \(b\) ar \(p\) un \(q\) palīdzību.

Kvadrātā, kas sastāv no \(4 \times 4\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām, katrā rūtiņā dzīvo pa vienam votivapam; taisnstūrī, kas sastāv no \(2 \times 8\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām, katrā rūtiņā dzīvo pa vienam šillišallam. Rūķīši grib mainīt dzīves vietas: votivapas grib pārcelties uz taisnstūri, bet šillišallas - uz kvadrātu.

(A) vai to var izdarīt tā, lai katri divi votivapas, kas kvadrātā dzīvoja blakus rūtiņās, arī taisnstūrī dzīvotu blakus rūtiņās?

(B) vai to var izdarīt tā, lai katri divi šillišallas, kas taisnstūrī dzīvoja blakus rūtiņās, arī kvadrātā dzīvotu blakus rūtiņās?

Piezīme: divas rūtiņas sauc par blakus rūtiņām, ja tām ir kopīga mala.

Dots, ka \(n\) - naturāls skaitlis. Katrs no \(2n+1\) rūķīšiem Lieldienās vienu reizi ieradās pie Sniegbaltītes un kādu laiku tur uzturējās. Ja divi rūķīši vienlaikus bija pie Sniegbaltītes, tad viņi tur satikās. Zināms, ka katrs rūķītis pie Sniegbaltītes satika vismaz \(n\) citus rūķīšus.

Pierādīt: ir tāds rūķītis, kas pie Sniegbaltītes satika visus \(2n\) citus rūķīšus.

Kvadrāts sastāv no \(8 \times 8\) rūtiņām. Kreisajā apakšējā rūtiņā atrodas figūriņa. Divi spēlētāji pēc kārtas bīda figūriņu. Ar vienu gājienu figūriņu var pabīdīt vai nu \(1\) rūtiņu pa labi, vai \(1\) rūtiņu uz augšu, vai \(1\) rūtiņu pa diagonāli "uz augšu un pa labi". Zaudē tas, kas nevar izdarīt gājienu.

Kas uzvar, pareizi spēlējot - pirmais vai otrais spēlētājs?

Funkcijai \(f(n)\) gan argumenti, gan vērtības ir naturāli skaitļi, un katriem diviem naturāliem skaitļiem \(x\) un \(y\) pastāv vienādība

\[xf(y)+yf(x)=(x+y) f\left(x^{2}+y^{2}\right)\]

Kvadrāts sastāv no \(4 \times 4\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām. Katrā rūtiņā ierakstīts naturāls skaitlis no \(1\) līdz \(16\) (visi skaitļi dažādi). Skaitļu summas rindiņās, kolonnās un abās diagonālēs ir \(10\) pēc kārtas sekojoši naturāli skaitļi.

Daļa ierakstīto skaitļu parādīti 1.zīm. Kāds skaitlis ierakstīts rūtiņā, kurā ir jautājuma zīme?

Kādam mazākajam naturālajamam \(n\) visas daļas \(\frac{5}{n+7}, \frac{6}{n+8}, \frac{7}{n+9}, \ldots, \frac{35}{n+37}, \frac{36}{n+38}\) ir nesaīsināmas?

Tenisa turnīrā piedalījās profesionāļi un amatieri; katrs ar katru citu spēlēja tieši vienu reizi. Profesionāļu bija par \(9\) vairāk nekā amatieru, un viņi visi kopā izcīnīja \(9\) reizes vairāk uzvaru nekā visi amatieri kopā. Kāds ir lielākais iespējamais uzvaru skaits, ko šādā turnīrā varēja izcīnīt kāds amatieris? Tenisā neizšķirtu nav.

Komisijā darbojas \(25\) deputāti, daži no tiem draudzējas (ja \(A\) draudzējas ar \(B\), tad arī \(B\) draudzējas ar \(A\)). Katram deputātam ir tieši \(n\) draugi. Ja kādi divi deputāti (apzīmēsim tos ar \(X\) un \(Y\)) nedraudzējas savā starpā, tad noteikti eksistē tāds deputāts, kas draudzējas gan ar \(X\), gan ar \(Y\).

Kāda ir mazākā iespējamā \(n\) vērtība?

Virknē augošā kārtībā izrakstīti naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(2004\) ieskaitot, katrs vienu reizi. Izsvītrojam no tās skaitļus, kas atrodas \(1.,\ 4.,\ 7.,\ 10.,\ \ldots\) vietās. No palikušās virknes atkal izsvītrojam skaitļus, kas tajā atrodas \(1.,\ 4.,\ 7.,\ \ldots\) vietās. Ar iegūto virkni rīkojamies tāpat, utt., kamēr paliek neizsvītrots viens skaitlis. Kurš tas ir?

Vai, izmantojot tikai \(3\) dažādus ciparus, var uzrakstīt \(16\) trīsciparu skaitļus, kas visi dod dažādus atlikumus, dalot ar \(16\)?

Dots, ka \(ABCD\) - kvadrāts, bet \(w\) - riņķa līnija, kas iet caur \(A\) un \(B\); punkti \(C\) un \(D\) atrodas \(w\) iekšpusē. Stari \(BD\) un \(BC\) krusto \(w\) attiecīgi punktos \(E\) un \(F\). Apzīmējam \(CF\) viduspunktu ar \(M\). Pierādīt, ka \(EM \perp BC\).

Ar \(n\) apzīmējam patvaļīgu nepāra naturālu skaitli, kas lielāks par \(1\). Pierādīt: abi skaitļi \(n\) un \(n+2\) vienlaicīgi ir pirmskaitļi tad un tikai tad, ja \((n-1)!\) nedalās ne ar \(n\), ne ar \(n+2\).

Kvadrāta malas garums ir \(1~\mathrm{m}\). Tajā novilktas līnijas, kas to sadala vairākās daļās; katra daļa vienāda ar kādu no figūrām, kas redzamas 5.zīm. (rūtiņas malas garums ir \(1~\mathrm{cm}\)). Aprēķināt novilkto līniju kopējo garumu.

Kādu lielāko daudzumu taisnstūru, kas sastāv no vismaz \(2\) rūtiņām katrs, var izgriezt no 3.zīm. attēlotās figūras?

Dots, ka \(n\) - naturāls skaitlis, \(n>1\). Vai izteiksmi

\[\left(x^{n}+x^{n-1}+\ldots+x+1\right)^{2}-x^{n}\]

noteikti var izsacīt kā divu polinomu reizinājumu tā, lai neviens no šiem polinomiem nebūtu konstante un visi abu polinomu koeficienti būtu veseli skaitļi?

Vairākās kaudzītēs kopā ir \(58\) sērkociņi; nevienā kaudzītē nav ne mazāk par \(1\), ne vairāk par \(12\) sērkociņiem.

Pierādīt: ir vai nu divas kaudzītes, kurās ir vienāds sērkociņu skaits, vai arī divas kaudzītes, kurās kopā ir tieši \(13\) sērkociņu.

Kvadrāts \(ABCD\) sastāv no \(4 \times 4\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām. Katrā rūtiņā novelk vienu diagonāli un vienu no iegūtajiem trijstūriem nokrāso baltu, otru - melnu. Nekādiem diviem vienādi nokrāsotiem trijstūriem nedrīkst būt kopīga mala. Cik dažādi kvadrāta krāsojumi iespējami?

Dots, ka \(19\) vienādas grāmatas kopā maksā \(24\) latus ar santīmiem, bet \(18\) tādas pašas grāmatas \(22\) latus ar santīmiem. Cik maksā \(1\) grāmata?

Vienādsānu trapecē \(ABCD\) zināms, ka \(AB=BC=CD\) un \(BC<AD\); diagonāļu krustpunkts ir \(O\). Pierādīt, ka nogriežņu \(AO\) un \(BC\) viduspunkti, kā arī virsotnes \(C\) un \(D\) atrodas uz vienas riņķa līnijas.

No sākuma uz tāfeles uzrakstīti skaitļi \(2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6\) (katrs vienu reizi). Ar vienu gājienu var izvēlēties divus uzrakstītus skaitļus (apzīmēsim tos ar \(a\) un \(b\)), nodzēst tos un vietā uzrakstīt skaitļus \(a+b\) un \(a \cdot b\). Vai, atkārtojot šādus gājienus, var panākt, ka uz tāfeles vienlaicīgi atrodas skaitļi \(21;\ 27;\ 64;\ 180;\ 225\)?

Taisnleņķa trijstūrī \(ABC\) novilkts augstums \(CH\) pret hipotenūzu \(AB\). Punkts \(M\) atrodas uz hipotenūzas un \(BM=BC\); punkts \(N\) atrodas uz katetes \(AC\) un \(CN=CH\). Pierādīt, ka \(MN \perp AC\).

(Piezīme: drīkst izmantot to, ka katra trijstūra iekšējo leņķu lielumu summa ir \(180^{\circ}\).)

Vai naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(10\) ieskaitot var izrakstīt rindā katru vienu reizi tā, lai pirmais skaitlis dalītos ar otro, pirmo divu skaitļu summa - ar trešo, pirmo trīs skaitļu summa - ar ceturto utt., pirmo deviņu skaitļu summa - ar desmito?

Vai līdzīgā veidā var uzrakstīt naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(13\) ieskaitot?

Kvadrāti \(ABCD\) un \(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) atrodas paralēlās plaknēs; abiem virsotnes uzrādītas pulksteņa rādītāja kustības virzienā. Pierādīt, ka \(AA_{1}^{2}+CC_{1}^{2}=BB_{1}^{2}+DD_{1}^{2}\).

Dots, ka \(\triangle ABC\) pastāv sakarības \(AB=AC\) un \(\sphericalangle ABC=60^{\circ}\); \(w\) ir riņķa līnijas loks, kura centrs ir \(A\), bet galapunkti \(B\) un \(C\) (skat. 4.zīm.). Uz loka \(w\) izvēlēts punkts \(D\), kas atšķiras gan no \(B\), gan no \(C\). Dots, ka \(X,\ Y,\ Z,\ T\) ir attiecīgi nogriežņu \(AB,\ BD,\ DC,\ CA\) viduspunkti. Pierādīt, ka \(XZ \perp YT\).

Kvadrāts sastāv no \(n \times n\) rūtiņām. Katrā rūtiņā jāieraksta viens no skaitļiem \(-1;\ 0;\ 1\) tā, lai \(n\) rindās un \(n\) kolonnās ierakstīto skaitļu summas visas būtu dažādas.

Vai to var izdarīt, ja (A) \(n=4\); (B) \(n=5\)?

Dots, ka \(a\) un \(b\) - pozitīvi skaitļi. Pierādīt, ka

\[a^{a} \cdot b^{b} \geq a^{b}b^{a}\]

Konkursā uz direktora vietu pieteicās \(n\) kandidāti. Tos vērtēja \(8\) eksperti. Katrs eksperts katru kandidātu novērtēja ar "derīgs" vai "nederīgs". Izrādījās, ka katriem diviem kandidātiem \(A\) un \(B\) izpildās sekojošais:

" \(A\) derīgs, \(B\) derīgs" nolēmuši \(2\) eksperti,

" \(A\) derīgs, \(B\) nederīgs" nolēmuši \(2\) eksperti,

" \(A\) nederīgs, \(B\) derīgs" nolēmuši \(2\) eksperti,

" \(A\) nederīgs, \(B\) nederīgs" nolēmuši \(2\) eksperti.

Kāda ir lielākā iespējamā \(n\) vērtība?

Izliektā \(7\)-stūrī \(ABCDEFG\) punkti \(A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}, E_{1}, F_{1}, G_{1}\) ir attiecīgi malu \(DE,\ EF,\ FG,\ GA,\ AB,\ BC,\ CD\) viduspunkti. Dots, ka \(AA_{1} \perp DE,\ BB_{1} \perp EF,\ CC_{1} \perp FG,\ DD_{1} \perp GA,\ EE_{1} \perp AB\) un \(FF_{1} \perp BC\). Pierādīt, ka \(GG_{1} \perp CD\).