Uz trijstūra \(ABC\) malām \(AC\) un \(AB\) ņemti attiecīgi punkti \(M\) un \(N\). Taisne \(t\) dala uz pusēm trijstūra ārējos leņķus pie virsotnes \(A\). Riņķa līnijas, kas apvilktas ap \(\triangle ABM\) un \(\triangle ACN\), krusto taisni \(t\) attiecīgi punktos \(K\) un \(L\). Pierādiet, ka trijstūri \(KBM\) un \(LCN\) ir vienādsānu un līdzīgi savā starpā.

No \(10 \times 10\) rūtiņu liela kvadrāta izgriezts centrālais \(8 \times 8\) rūtiņu kvadrāts. Sagrieziet atlikušo "rāmi" iespējami mazā skaitā gabalu, lai no tiem varētu salikt vienu kvadrātu bez caurumiem un pārklāšanās. (Griezumiem jāiet pa rūtiņu robežām; nav jāpierāda, ka Jūsu iegūtais gabalu skaits ir mazākais iespējamais).

Sauksim naturālu skaitli par interesantu, ja tas nesatur ciparu \(0\) un tā pirmais cipars par \(1\) mazāks nekā visu citu ciparu summa.

(A) kāds ir mazākais interesantais četrciparu skaitlis?

(B) kāds ir lielākais interesantais skaitlis?

Izliektā piecstūrī \(ABCDE\) punkti \(A_{1},\ B_{1},\ C_{1},\ D_{1},\ E_{1}\) ir attiecīgi malu \(CD,\ DE,\ EA,\ AB,\ BC\) viduspunkti. Dots, ka \(AA_{1} \perp CD,\ BB_{1} \perp DE,\ CC_{1} \perp EA\) un \(DD_{1} \perp AB\). Pierādiet, ka \(EE_{1} \perp BC\).

Ap apaļu galdu kaut kādā kārtībā apsēžas \(m\) votivapas un \(n\) šillišallas (gan vieni, gan otri ir rūķīši). Kādām \(m\) un \(n\) vērtībām noteikti var atrast rūķīti, kam gan pa labi, gan pa kreisi blakus sēž šillišalla? (Pieņemam, ka \(m+n \geq 3\)).

Vai kvadrātā, kas sastāv no \(4 \times 4\) rūtiņām, var katrā rūtiņā ierakstīt naturālu skaitli no \(1\) līdz \(16\) (tiem visiem jābūt dažādiem) tā, lai nekādi divi skaitļi, kas ierakstīti rūtiņās ar kopīgu malu, abi vienlaicīgi nedalītos ne ar vienu citu naturālu skaitli kā \(1\)?

Šaha turnīrā katrs spēlētājs ar katru citu spēlēja vienu reizi. Par uzvaru iegūst \(1\) punktu, par neizšķirtu \(\frac{1}{2}\) punkta, par zaudējumu - \(0\) punktus. Jānis, Pēteris, Andris un Juris ieguva attiecīgi \(4 \frac{1}{2}\), \(3 \frac{1}{2}\), \(3\) un \(1 \frac{1}{2}\) punktus; neviens no citiem spēlētājiem neieguva vairāk punktu nekā Juris. Cik bija citu spēlētāju un cik punktus viņi ieguva?

Noskaidrot, kādiem dažādiem pirmskaitļiem \(p_{1},\ p_{2},\ \ldots,\ p_{n}\) pastāv īpašība: \(p_{1}p_{2}p_{3} \ldots p_{n}\) dalās ar \(\left(p_{1}-1\right)\left(p_{2}-1\right) \ldots \left(p_{n}-1\right)\).

Dots, ka \(n\) - vesels pozitīvs skaitlis un skaitļi \(2n+1\) un \(3n+1\) ir veselu skaitļu kvadrāti.

(A) atrodiet kaut vienu tādu \(n\),

(B) vai \(5n+3\) var būt pirmskaitlis?

Kastē atrodas \(10\) baltas, \(12\) sarkanas un \(16\) zaļas lodītes. Ar vienu gājienu no kastes var izņemt divas dažādu krāsu lodītes un ielikt kastē vienu trešās krāsas lodīti. Vai var panākt, lai kastē paliek tikai viena lodīte? Vai to var panākt, ja sākotnējie lodīšu daudzumi ir \(10,\ 12\) un \(15\)?

Vai eksistē tāds naturāls skaitlis \(n\), ka \(6^{n}-1\) dalās ar \(4^{n}-1\)?

Dots, ka \(q_{1}q_{2}q_{3}<0\). Pierādiet, ka vismaz vienam no vienādojumiem \(x^{2}+p_{1}x+q_{1}=0,\ x^{2}+p_{2}x+q_{2}=0\) un \(x^{2}+p_{3}x+q_{3}=0\) ir divas dažādas saknes.

Rindā ir \(12\) krēslu; uz katra no tiem sēž pa skolēnam. Skolēniem vienu reizi atļauts piecelties un apsēsties citā kārtībā, pie tam katrs drīkst apsēsties vai nu iepriekšējā vietā, vai tieši blakus iepriekšējai vietai.

Cik dažādi skolēnu izvietojumi iespējami pēc pārkārtošanās?

Uz trijstūra \(ABC\) malām \(AB\) un \(BC\) kā uz pamatiem ārpus \(\triangle ABC\) konstruēti vienādsānu trijstūri \(AMB\) un \(BNC\) (\(AM=MB\) un \(BN=NC\)). Zināms, ka \(\sphericalangle AMB+\sphericalangle BNC=180^{\circ}\) un \(K\) ir malas \(AC\) viduspunkts. Pierādīt, ka \(\sphericalangle MKN=90^{\circ}\).

Vai noteikti \(x+\frac{4}{x}>y+\frac{4}{y}\), ja

(A) \(x>y>0\), (B) \(x>y>2\)?

Kādā klubā ir \(8\) biedri. Vai var nodibināt vairākas komisijas tā, lai vienlaicīgi izpildītos divas prasības:

1. katrā komisijā ir tieši \(4\) biedri,
2. katri \(3\) no astoņiem kluba biedriem ir kopā tieši vienā komisijā?

Trijstūri krusto \(4\) taisnes. Vai var gadīties, ka trijstūris sadalās \(5\) trijstūros, \(3\) četrstūros, \(2\) piecstūros un \(1\) sešstūrī?

Vai var gadīties, ka sadalījumā iegūto trijstūru ir par vienu mazāk, četrstūru - par vienu vairāk, bet piecstūru un sešstūru daudzumi ir tādi paši, kā minēts iepriekš?

Kvadrāts sastāv no \(5 \times 5\) rūtiņām. Spēlētāji \(A\) un \(B\) pamīšus raksta tukšajās rūtiņās skaitļus (sāk \(A\)): \(A\) - vieninieku, \(B\) nulli. \(A\) mērķis ir panākt, lai pēc tam, kad visas rūtiņas aizpildītas, varētu atrast \(3 \times 3\) rūtiņu kvadrātu ar iespējami lielu tajā ierakstīto skaitļu summu \(S;\ B\) cenšas viņam traucēt.

Kādu lielāko summu \(S\) var sasniegt spēlētājs \(A\)?

Atrisināt vienādojumu sistēmu ar \(5\) mainīgajiem \(x+y=z^{2}\), \(y+z=u^{2},\ z+u=v^{2},\ u+v=x^{2},\ v+x=y^{2}\) pozitīvos skaitļos.

Vai eksistē tāds vesels pozitīvs skaitlis \(n\), ka skaitlim \(n^{2}\) ir tikpat daudz naturālu dalītāju, kas dod atlikumu \(1\), dalot ar \(3\), cik naturālu dalītāju, kas dod atlikumu \(2\), dalot ar \(3\)?

Vienādojumiem \(x^{2}+p_{1}x+q_{1}=0\), \(x^{2}+p_{2}x+q_{2}=0\) un \(x^{2}+p_{3}x+q_{3}=0\) ir attiecīgi saknes \(x_{0}\) un \(x_{1}\), \(x_{0}\) un \(x_{2}\), \(x_{0}\) un \(x_{3}\). Izteikt vienādojuma \(x^{2}+\frac{p_{1}+p_{2}+p_{3}}{3} x+\frac{q_{1}+q_{2}+q_{3}}{3}=0\) saknes ar \(x_{0},\ x_{1},\ x_{2}\) un \(x_{3}\), nelietojot kvadrātsaknes zīmi.

Divi spēlētāji pamīšus raksta uz tāfeles pa vienam naturālam skaitlim no \(1\) līdz \(9\) ieskaitot. Nedrīkst rakstīt skaitļus, ar kuriem dalās kaut viens jau uzrakstīts skaitlis. Kas nevar izdarīt gājienu, zaudē.

Parādiet, kā tas, kas izdara pirmo gājienu, var uzvarēt.

Uz tāfeles pa reizei uzrakstīti visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(n\) ieskaitot. Ar vienu gājienu var izvēlēties divus uz tāfeles uzrakstītus skaitļus (apzīmēsim tos ar \(a\) un \(b\)), nodzēst tos un to vietā uzrakstīt \(|a^{2}-b^{2}|\). Pēc \(n-1\) gājiena uz tāfeles paliek viens skaitlis. Vai tas var būt \(0\), ja (A) \(n=8\), (B) \(n=9\)?

Doti \(4\) atsvari. Katram no tiem masa ir \(10~\mathrm{g}\) vai \(11~\mathrm{g}\). Doti arī svari, kas rāda uz tiem uzlikto atsvaru kopējo masu. Vai ar \(3\) svēršanām var noteikt katra atsvara masu?

Andrim un Jurim iedots pa papīra kvadrātam ar izmēriem \(1~\text{m} \times 1~\text{m}\). Katrs no viniem savā kvadrātā novilka vairākas līnijas, sadalot to daļās; katra daļa ir taisnstūris ar izmēriem \(4~\text{cm} \times 4~\mathrm{cm}\) vai \(3~\text{cm} \times 6~\mathrm{cm}\).

Pierādiet, ka Andra novilkto līniju kopgarums vienāds ar Jura novilkto līniju kopgarumu. (Tika novilktas tikai līnijas, kas dala kvadrātus taisnstūros.)

Kvadrāts sastāv no \(4 \times 4\) rūtiņām. Vai var tajās ierakstīt naturālus skaitļus no \(1\) līdz \(16\) (katrā rūtiņā - citu skaitli) tā, lai skaitļu summas visās rindās un kolonnās būtu dažādas un visas dalītos ar (A) \(4\), (B) \(8\)?

Uz galda atrodas \(7\) pēc ārējā izskata vienādas monētas. Ir zināms, ka \(6\) no tām masas ir vienādas, bet septītajai masa varbūt ir citāda. Kā ar \(2\) svēršanām uz sviras svariem bez atsvariem noskaidrot, vai atšķirīgā monēta ir un, ja tā ir, tad vai tā vieglāka vai smagāka par citām?

Trijstūra \(ABC\) ievilktā riņķa centrs ir \(I\). Dots, ka \(CA+AI=CB\). Pierādīt, ka \(\sphericalangle BAC=2 \sphericalangle CBA\).

Andrim vajadzēja sareizināt divus dažādus pozitīvus trīsciparu skaitļus. Izklaidības pēc viņš tos vienkārši uzrakstīja vienu otram galā. Iegūtais sešciparu skaitlis izrādījās \(3\) reizes lielāks par reizinājumu, kuru Andrim vajadzēja iegūt. Kādu sešciparu skaitli Andris uzrakstīja?

Dots, ka \(|x+y|+|x-y|=10\). Kāda ir lielākā iespējamā \(x\) vērtība?

No punkta \(A\) riņķa līnijai \(w\) novilktas pieskares \(AX\) un \(AY\) (\(X\) un \(Y\) - pieskāršanās punkti). Punktam \(Y\) diametrāli pretējais punkts ir \(Z\). Punkts \(B\) pieder nogrieznim \(YZ\) un \(XB \perp YZ\).

Pierādiet, ka taisne \(AZ\) dala nogriezni \(XB\) uz pusēm.

Kādā lielākajā daudzumā dažādu naturālu saskaitāmo, kas visi lielāki par \(1\), var sadalīt skaitli \(56\) tā, lai katru divu saskaitāmo lielākais kopīgais dalītājs būtu \(1\)?

Volejbola turnīrā piedalās \((n+2) \cdot 2^{n-1}-2\) komandas (\(n\) - naturāls skaitlis), katra ar katru citu spēlē tieši vienu reizi (neizšķirtu nav). Pierādīt: pēc turnīra beigām var izvēlēties \(n\) no šīm komandām tā, ka katra no pārējām zaudējusi vismaz vienai no izvēlētajām \(n\).

Uz galda atrodas \(k\) konfektes. Andris un Juris pamīšus izdara gājienus: Andris - pirmo, trešo, piekto, \(\ldots\), Juris - otro, ceturto, sesto, \(\ldots\) . Ar \(n\)-to gājienu \((n=1,\ 2,\ 3,\ \ldots)\) jāapēd vismaz viena, bet ne vairāk par \(n\) konfektēm. Kas apēd pēdējo konfekti, uzvar.

Kurš uzvar, pareizi spēlējot, ja (A) \(k=8\), (B) \(k=64\)?

Šodien pulkst. \(12^{00}\) divi pulksteņi ar parastu ciparnīcu rādīja pareizu laiku. Pirmais pulkstenis katru dienu steidzas par \(4\) minūtēm, otrais pulkstenis katru dienu atpaliek par \(6\) minūtēm. Pēc cik dienām pirmo reizi pulkst. \(12^{00}\) abi pulksteņi atkal rādīs pareizu laiku?

Kvadrāts sastāv no \(n \times n\) rūtiņām; viena stūra rūtiņa izgriezta. Rūtiņas malas garums ir \(1\). Atlikušo daļu jāsadala taisnstūros ar izmēriem \(1 \times 2\) tā, lai pusei no tiem garākā mala ietu vienā virzienā, bet pusei - otrā. Vai to var izdarīt, ja (A) \(n=5\), (B) \(n=7\)?

Dots, ka \(x,\ y,\ z\) - reāli skaitļi un

\[|x+y-z|+|x-y+z|+|-x+y+z|=2003\]

Vai var rindā izrakstīt divus ciparus \(1\), divus ciparus \(2\), \(\ldots\), divus ciparus \(5\) tā, lai katrs izrakstītais viencipara skaitlis, izņemot pirmo un pēdējo, būtu vienāds ar savu abu kaimiņu summu vai starpību?

Uz katras no divām lapām jāuzraksta pa \(n\) veseliem pozitīviem skaitļiem. Visiem \(2n\) uzrakstītajiem skaitļiem jābūt dažādiem. Pie tam uz lapām uzrakstīto skaitļu summām jābūt vienādām savā starpā, un uzrakstīto skaitļu kvadrātu summām arī jābūt vienādām savā starpā.

Vai tas iespējams, ja (A) \(n=3\), (B) \(n=4\), (C) \(n=2003\)?

Pierādīt: \(\triangle ABC\) visu leņķu kosinusi ir racionāli skaitļi tad un tikai tad, ja \(\triangle ABC\) līdzīgs tādam trijstūrim, kura visu malu garumi izsakās ar veselu skaitu centimetru.